仿射几何 · 纠缠理论的数学基础

在本章中，假设所有的向量空间均为有限维的。

9.1基本概念

定义 9.1 （仿射几何）

设 $S$ 为向量 $V$ 的子空间，陪集 $v + S = {v + s ∣ s \in S}$ 称为 $V$ 中的一个平坦¹（flat），其中 $S$ 是该平坦的基底子空间（base）， $v$ 是平坦代表元（flat representation）；有时也称 $v + S$ 为 $S$ 的平移（translate）。 $V$ 中所有平坦构成的集合 $A (V)$ 称为 $V$ 的仿射几何（affine geometry）。 $A (V)$ 的维数 $dim (A (V))$ 定义为 $dim (V)$ 。

注

尽管一个平坦可能有许多代表元，该平坦也只有一个基底。不妨考虑某个平坦同时具有 $x + S$ 和 $y + T$ 两种表示，其中 $x \neq = y$ ，那么由于 $0 \in S$ ，有 $x \in y + T$ ，因此 $S = (y - x) + T = T$ 。

定义 9.2

平坦 $x + S$ 的维数定义为 $dim (S)$ 。维数为 $k$ 的平坦称为 $k$ -平坦（ $k$ -flat）。 0-平坦是一个点（point），1-平坦是一条直线（line），2-平坦是一个平面（plane）。维数为 $dim (A (V)) - 1$ 的平坦称为超平面（hyperplane）。

注

当 $v = 0$ 时，1-平坦和2-平坦分别退化为过零点的直线和平面，也就是该向量空间的子空间。

定义 9.3 （平行）

若两个平坦 $X = x + S$ 和 $Y = y + T$ 满足 $S \subseteq T$ 或 $T \subseteq S$ ，则称其平行（parrallel），记作 $X ∥ T$ 。

习惯上我们用 $S, T$ 表示 $V$ 的子空间，而用 $X, Y$ 表示 $V$ 的平坦。以下是平坦的基本交集性质。

命题 9.1

设 $S$ 和 $T$ 为 $V$ 的子空间， $X = x + S$ 和 $Y = y + T$ 是 $V$ 中的平坦。

以下表述等价：
1. 存在 $X$ 的平移在 $Y$ 中，即存在 $w \in V$ 使得 $w + X \subseteq Y$ ；
2. 存在 $S$ 的平移在 $T$ 中，即存在 $v \in V$ 使得 $v + S \subseteq T$ ；
3. $S \subseteq T$ ；
以下表述等价：
1. $X$ 和 $Y$ 互为平移，即存在 $w \in V$ 使得 $w + X = Y$ ；
2. $S$ 和 $T$ 互为平移，即存在 $v \in V$ 使得 $v + S = T$ ；
3. $S = T$ ；
$X \cap Y \neq = \emptyset, S \subseteq T \Leftrightarrow X \subseteq Y$ ；
$X \cap Y \neq = \emptyset, S = T \Leftrightarrow X = Y$ ；
若 $X ∥ Y$ ，则 $X \subseteq Y, Y \subseteq X$ 或 $X \cap Y = \emptyset$ ；
$X ∥ Y$ 当且仅当存在这些平坦之一的平移，其包含在另一平坦内。

证明

若表述1成立，即存在 $w \in V$ 使得 $w + X \subseteq Y$ ，则存在 $v = w + x - y$ 使得 $v + S \subseteq T$ ，表述2成立；若表述2成立，则由于 $0 \in S$ ，我们有 $v \in T$ ，进而 $S \subseteq T - v = T$ ，表述3成立；若表述3成立，则存在 $w = x - y$ 使得 $w + X \subseteq Y$ ，表述1成立；
$S = T$ 当且仅当 $S \subseteq T$ 且 $T \subseteq S$ ，根据性质1得证；
对于充分性，性质1给出存在 $w \in V$ 使得 $w + X \subseteq Y$ 。对于任意 $v \in X \cap Y$ ，存在 $y \in Y$ 使得 $w + v = y$ ，进而 $w = y - v \in Y$ ，从而 $X \subseteq Y - w = Y$ ；对于必要性，性质1直接给出 $S \subseteq T$ ，并且 $X \cap Y = X \neq = \emptyset$ ；
$S = T$ 当且仅当 $S \subseteq T$ 且 $T \subseteq S$ ，根据性质3得证；
$X ∥ Y$ 意味着 $S \subseteq T$ 或 $T \subseteq S$ ，根据性质1，此时存在 $w, v \in V$ 使得 $w + X \subseteq Y$ 或 $v + Y \subseteq Y$ 。若 $w \in Y$ 或 $v \in X$ ，那么 $X \subseteq Y - w = Y$ 或 $Y ⊊ X - v = X$ ；反之若 $w \in / Y$ 且 $v \in / X$ ，首先考虑 $S \subseteq T$ 的情况。假设存在 $u \in X \cap Y$ ，那么存在 $y \in Y$ 使得 $w + u = y$ ，即 $w = y - u \in Y$ ，矛盾。因此 $X \cap Y = \emptyset$ ，这对于 $T \subseteq S$ 的情形也成立；
根据性质1和性质5，该等价性是显然的。

9.2仿射组合与仿射包

在向量空间中，可通过向量集的线性组合生成一个子空间；而在仿射子空间中，同样存在相应的概念。

2.1 仿射组合

类似线性组合，我们可定义仿射组合。

定义 9.4 （仿射组合）

设 $V$ 为向量空间， $x_{i} \in V$ ，那么线性组合

r_{1} x_{1} + \dots + r_{n} x_{n}, where r_{i} \in F and i = 1 \sum n r_{i} = 1

(9.2.1)

称为向量集 ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ 的仿射组合（affine combination）。

若 $V$ 的非空子集 $X$ 在 $X$ 中向量的任意仿射组合下方便，则称其仿射封闭（affine closed）；若 $X$ 在 $X$ 中任意两个向量的仿射组合下封闭，则称其2-仿射封闭（two-affine closed）。

命题 9.2

设 $V$ 是特征不为2的域 $F$ 上的向量空间，则 $V$ 的子集 $X$ 仿射封闭当且仅当其2-仿射封闭。

证明

充分性是显然的；对于必要性，采用归纳法，其中 $n = 2$ 的情形自然成立。当 $n > 2$ 时，假设结论对于任意不多于 $(n - 1)$ 个向量的仿射组合成立，那么考虑仿射组合 $z = r_{1} x_{1} + \dots + r_{n} x_{n}$ 。若存在某个 $r_{i} = 1$ ，则其余 $r_{j} = 0 (j \neq = i)$ ，此时 $z = x_{i} \in V$ ，该情况平凡；因此考虑所有 $r_{i}$ 均不为1的情况，此时可将 $z$ 改写为

z = r_{1} x_{1} + (1 - r_{1}) (\frac{r _{2}}{1 - r _{1}} x_{2} + \dots + \frac{r _{n}}{1 - r _{1}} x_{n}) .

(9.2.2)

由于 $\sum_{i = 2}^{n} r_{i} / (1 - r_{1}) = (1 - r_{1}) / (1 - r_{1}) = 1$ ，根据归纳假设， $y = \sum_{i = 2}^{n} r_{i} x_{i} / (1 - r_{1}) \in X$ ，进而2-仿射封闭性要求 $z = r_{1} x + (1 - r_{1}) y \in X$ 。因此 $X$ 内任意仿射组合均在 $X$ 内，即 $X$ 仿射封闭。

注

上述命题中，特征不为2的要求是必须的。对于 $F = Z_{2}$ ，存在 $F^{2}$ 的子集 $X = {(0, 0), (1, 0), (0, 1)}$ 是2-仿射封闭的，但 $(0, 0) + (1, 0) + (1, 0) = (1, 1) \in / X$ ，即 $X$ 不是仿射封闭的。

定理 9.1

向量空间的非空子集 $X$ 是平坦当且仅当 $X$ 是仿射封闭的。此外，若 $F$ 特征不为2，则 $X$ 是平坦当且仅当 $X$ 是2-仿射封闭的。

证明

若 $X$ 是平坦，设其基底子空间为 $S$ ， $x$ 为某个平坦代表元。对于任意 $x_{i} \in X$ ，存在 $s_{i} \in S$ 使得 $x_{i} = x + s_{i}$ 。因此利用 $S$ 的封闭性，这些向量的仿射组合 $\sum_{i = 1}^{n} r_{i} x_{i} = \sum_{i = 1}^{n} r_{i} (x + s_{i}) = x + \sum_{i = 1}^{n} r_{i} s_{i} \in x + S = X$ ，其中已利用 $\sum_{i = 1}^{n} r_{i} = 1$ ，因此 $X$ 仿射封闭；反之若 $X$ 仿射封闭，任取 $x \in X$ ，记 $S = X - x$ 。对于 $X$ 内的任意向量集 ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ ，记 $s_{i} = x_{i} - x$ 。那么对于任意 $r_{i} \in F$ ，利用 $X$ 的仿射封闭性，

x + i = 1 \sum n r_{i} s_{i} = (1 - i = 1 \sum n r_{i}) x + i = 1 \sum n r_{i} x_{i} \in X,

(9.2.3)

因此 $\sum_{i = 1}^{n} r_{i} s_{i} \in X - x = S$ ，即 $S$ 代数封闭，故 $S$ 为子空间，从而 $X$ 为平坦。

2.2 仿射包

类似向量集张成的子空间，我们可定义仿射包。

定义 9.5

设 $X$ 为 $V$ 中的非空向量集。

$X$ 的仿射包（affine hull）是包含 $X$ 的最小平坦，记作 $affhull (X)$ ；
$X$ 的仿射张成（affine span）是 $X$ 中向量的所有仿射组合构成的集合，记作 $affspan (X)$ 。

类似向量集张成的子空间是包含该向量集的最小子空间这一事实，仿射包与仿射张成实际上是等价的。

定理 9.2

设 $X$ 为 $V$ 的非空子集，则

affhull (X) = affspan (X) = x + span (X - x),

(9.2.4)

此时 $dim (affspan (X)) = dim (span (X - x))$ 。以后对仿射包与仿射张成不加区分，统一记为 $aff (X)$ 。

证明

根据定理 9.1, $X$ 的仿射包是仿射封闭的，即 $X$ 的任意仿射组合均在 $affhull (X)$ 内，因此 $affspan (X) \subseteq affhull (X)$ ；对于反向包含，我们希望证明 $affspan (X)$ 是包含 $X$ 的一个平坦，那么根据仿射包的定义， $affhull (X) \subseteq affspan (X)$ ，从而结论得证。任取 $x \in X = {x_{j} ∣ j \in J}$ ，记 $S = affspan (X) - x$ 。对于任意 $y, y_{i} \in affspan (X)$ ，存在 $s_{i, j} \in F$ 使得 $y_{j} = \sum_{j} s_{i, j} x_{j}$ ，其中 $\sum_{j} s_{i, j} = 1$ 对所有 $i = 1, \dots, n$ 成立。因此对于任意和为1的 $r_{i} \in F$ ，

i = 1 \sum n r_{i} y_{i} = i, j \sum r_{i} s_{i, j} x_{j}, where i, j \sum r_{i} s_{i, j} = i \sum r_{i} j \sum s_{i, j} = i \sum r_{i} = 1,

(9.2.5)

因此 $\sum_{i = 1}^{n} r_{i} y_{i} \in affspan (X)$ ，即 $affspan (X)$ 仿射封闭。根据定理 9.1， $affspan (X)$ 是包含 $X$ 的一个平坦，故 $affhull (X) \subseteq affspan (X)$ ，反向包含成立。

9.3仿射子空间格

子空间的交集仍然是子空间，尽管它可能是平凡的零空间。对于平坦，我们将证明：若其平坦的交集非空，则其也是平坦。不过平坦的交集可能为空集，我们需要对其稍作修正使其重新成为格（参见命题 2.2前的定义）。

定理 9.3

设 $V$ 为向量空间， $V$ 中所有平坦与空集共同构成的集族

A_{0} (V) = A (V) \cup {\emptyset}

(9.3.1)

在交集下构成完全格。特别地，

$A_{0} (V)$ 在任意交集下是封闭的。若集族 $F = {X_{k} ∣ k \in K} = {x_{k} + S_{k} ∣ k \in K}$ 具有非空交集，则

$⋂ F = k \in K ⋂ X_{k} = x + k \in K ⋂ S_{k},$
(9.3.2)

其中 $x \in \cap_{k \in K} X_{k}$ ；换言之，交集的基底子空间是基底子空间的交集；
集族 $F = {X_{k} ∣ k \in K} = {x_{k} + S_{k} ∣ k \in K}$ 并集的上确界是包含 $F$ 内所有元素的最小平坦，即

$⋁ F = aff (k \in K ⋃ X_{k}) .$
(9.3.3)

特别地，若 $X = x + S$ 和 $y + T$ 为 $V$ 中的平坦，则

$X \lor Y = x + (⟨ x - y ⟩ + S + T) = aff {x, y} + (S + T) .$
(9.3.4)

若 $X \cap Y \neq = \emptyset$ ，则进一步有

$X \lor Y = x + (S + T) .$
(9.3.5)

证明

$\cap_{k \in K} X_{k} = \emptyset \in A_{0} (V)$ 是平凡的；若 $\cap_{k \in K} X_{k} \neq = \emptyset$ ，其包含的任意向量集必然包含在所有 $X_{k}$ 内。由于 $X_{k}$ 是平坦，根据定理 9.1，该向量集在所有 $X_{k}$ 内仿射封闭，因此其仿射组合在 $\cap_{k \in K} X_{k}$ 内。由此可知 $\cap_{k \in K} X_{k}$ 也是仿射封闭的，根据定理 9.1， $\cap_{k \in K} X_{k} \in A (V) \subseteq A_{0} (V)$ 。综上， $A_{0} (V)$ 在任意交集下封闭。对于任意 $x \in \cap_{k \in K}$ ， $x - x_{k} \in S_{k}$ 对所有 $k \in K$ 成立，因此 $x + S_{k} = x_{k} + (x - x_{k}) + S_{k} = x_{k} + S_{k}$ 对所有 $k \in K$ 成立，从而

$k \in K ⋂ X_{k} = k \in K ⋂ (x_{k} + S_{k}) = k \in K ⋂ (x + S_{k}) = x + k \in K ⋂ S_{k} .$
(9.3.6)
对于 $A_{0} (V)$ 内的任意集族 $F = {X_{k} ∣ k \in X}$ ，首先 $\cup_{k \in K} X_{k} \subseteq aff (\cup_{k \in K} X_{k})$ ，因此 $aff (\cup_{k \in K} X_{k}) \in A_{0} (V)$ 是该集族的上界。另外根据仿射包的定义，任意包含 $\cup_{k \in K} X_{k}$ 的平坦也包含 $aff (\cup_{k \in K} X_{k})$ ，因此 $aff (\cup_{k \in K} X_{k})$ 为集族 $F$ 的最小上界，即上确界 $\lor F = aff (\cup_{k \in K} X_{k})$ 。特别地，若 $X = x + S$ 和 $Y = y + T$ 为 $V$ 中的平坦，显然 $x, y \in X \cup Y \subseteq aff (X \cup Y)$ 。根据仿射几何定义 9.1后的讨论， $aff (X \cup Y)$ 具有唯一基底子空间 $U$ ，即 $aff (X \cup Y) = x + U = y + U$ ，因此 $x - y \in U$ 。根据命题 9.1， $X \subseteq X \cup Y \subseteq aff (X \cup Y)$ 等价于 $S \subseteq U$ ，类似地 $T \subseteq U$ 。利用子空间的封闭性， $⟨ x - y ⟩ + S + T \subseteq U$ ，从而 $x + (⟨ x - y ⟩ + S + T) \subseteq x + U = aff (X \cup Y)$ ；另一方面，容易验证 $x + (⟨ x - y ⟩ + S + T)$ 是包含 $X$ 和 $Y$ 的平坦，因此 $aff (X \cup Y) \subseteq x + (⟨ x - y ⟩ + S + T)$ 。综上，

$X \lor Y = aff (X \cup Y) = x + (⟨ x - y ⟩ + S + T) = aff {x, y} + S + T .$
(9.3.7)

当 $X \cap Y \neq = \emptyset$ 时，那么对于交集内的元素，存在 $s \in S$ 和 $t \in T$ 使得 $x + s = y + t$ ，即 $⟨ x - y ⟩ \subseteq S + T$ ，此时可将表达式简化为 $X \lor Y = x + (S + T)$ 。

根据此结果，我们可以很方便地讨论两个平坦的并集的维数。

推论 9.1

设 $X = x + S$ 和 $Y = y + T$ 为 $V$ 的平坦。

若 $X \cap Y \neq = \emptyset$ ，则 $dim (X \lor Y) = dim (S + T) = dim (X) + dim (Y) - dim (X \cap Y)$ ；
若 $X \cap Y = \emptyset$ ，则 $dim (X \lor Y) = dim (S + T) + 1$ 。

证明

根据定理 2.7、推论 3.2和定理 9.3，此时 $dim (X \lor Y) = dim (S + T) = dim (S) + dim (T) - dim (S \cap T)$ ；
考虑 $v \in ⟨ x - y ⟩ \cap (S + T)$ ，那么存在 $r \in F$ 以及 $s \in S$ 和 $t \in T$ ，使得 $v = r (x - y) = s + t$ 。假设 $r \neq = 0$ ，那么 $x - s / r \in x + S = X$ 且 $y + t / r \in y + T = Y$ ，这意味着 $X \cap Y \neq = \emptyset$ ，矛盾。因此 $r = 0$ ，即 $⟨ x - y ⟩ \cap (S + T) = {0}$ ，进而根据定理 2.7、推论 3.2和定理 9.3，此时

$dim (X \lor Y) = dim (⟨ x - y ⟩) + dim (S + T) - dim (⟨ x - y ⟩) = dim (S + T) + 1.$
(9.3.8)

9.4仿射无关

对应于向量的线性无关，也存在仿射无关的概念。

定理 9.4 （仿射无关）

设 $X$ 为 $V$ 的一个非空子集，则以下表述等价：

对于所有 $x \in X$ ，集合 $(X - x) \ {0}$ 线性无关；
对于所有 $x \in X$ ， $x \in / aff (X \ {x})$ ；
对于任意向量 $x_{i} \in X$ ，

$i = 1 \sum n r_{i} x_{i} = 0 and i = 1 \sum n r_{i} = 0 ⟹ r_{i} = 0 for all i = 1, \dots, n .$
(9.4.1)
对于所有 $X$ 中向量的仿射组合，

$i = 1 \sum n r_{i} x_{i} = i = 1 \sum n s_{i} x_{i} ⟹ r_{i} = s_{i} for all i = 1, \dots, n .$
(9.4.2)
当 $X = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ 有限时， $dim (aff (X)) = n - 1$ 。

称满足上述任一条件的集合 $X$ 为仿射无关的（affinely independent）。

证明

若表述1成立，假设存在 $x \in X$ 使得 $x \in aff (X \ {x})$ ，即存在不等于 $x$ 的 $x_{i} \in X$ 和 $r_{i} \in F$ ，使得 $x = \sum_{i = 1}^{n} r_{i} x_{i}$ ，其中 $\sum_{i = 1}^{n} r_{i} = 1$ ，因此至少一个 $r_{i}$ 非零。移项得 $\sum_{i = 1}^{n} r_{i} (x_{i} - x) = 0$ ，可见向量集 ${x_{1} - x, \dots, x_{n} - x}$ 线性相关，矛盾。故 $x \in / aff (X \ {x})$ 对所有 $x \in X$ 成立，即表述2成立；
若表述2成立，那么对于任意 $x_{i} \in X$ 以及和为0的系数 $r_{i} \in F$ ，当 $\sum_{i = 1}^{n} r_{i} x_{i} = 0$ 时，假设存在 $r_{i} \neq = 0$ ，那么 $x_{i} = \sum_{j \neq = i} (- r_{j} / r_{i}) x_{j}$ 。注意到 $\sum_{j \neq = i} (- r_{j} / r_{i}) = - (- r_{i}) / r_{i} = 1$ 且 $x_{j} \neq = x_{i} (j \neq = i)$ ，因此 $x_{i} \in aff (X \ {x_{i}})$ ，矛盾。这意味着所有 $r_{i}$ 均为零，表述3成立；
若表述3成立，将表述4改写为 $\sum_{i = 1}^{n} (r_{i} - s_{i}) x_{i} = 0$ ，则其显然成立；
若表述4成立，根据定理 9.2， $aff (X) = x_{1} + span (X - x_{1}) = x_{1} + span ((X - x_{1}) \ {0})$ 。假设向量集 $(X - x_{1}) \ {0}$ 线性相关，即存在不全为零 $r_{i} \in F$ 使得 $\sum_{i = 2}^{n} r_{i} (x_{i} - x_{1}) = 0$ ，不妨设 $r_{i} \neq = 0$ ，那么

$x_{i} = x_{1} - j \neq = i \sum \frac{r _{j}}{r _{i}} (x_{j} - x_{1}) = 1 + j \neq = i \sum \frac{r _{j}}{r _{i}} x_{1} - j \neq = i \sum \frac{r _{j}}{r _{i}} x_{j} \in aff (X),$
(9.4.3)

但等式两侧 $x_{i}$ 的系数不同，矛盾。因此 $(X - x_{1}) \ {0}$ 线性无关，进而 $dim (aff (X)) = n - 1$ ，表述5成立；
若表述5成立，假设存在 $x \in X$ 使得 $(X - x) \ {0}$ 线性相关，即存在不全为零的 $r_{i} \in F$ 和 $x_{i} \in X$ 使得 $\sum_{i = 1}^{n} r_{i} (x_{i} - x) = 0$ 。那么在有限子集 $X^{'} = {x, x_{1}, \dots, x_{n}}$ 中，根据定理 9.2， $n = dim (aff (X^{'})) = dim (span (X^{'} - x)) < ∣ (X^{'} - x) \ {0} ∣ = n$ ，矛盾。因此 $(X - x) \ {0}$ 对所有 $x \in X$ 成立，即表述1成立。

类比向量空间中基的概念，对于平坦 $A = x + S$ ，若其子集 $B$ 仿射无关且 $aff (B) = A$ ，则称 $B$ 为 $A$ 的仿射基（affine basis）。从几何上看，由于仿射子空间是过原点的“平面”经平移得到的“平面”，因此仿射基对应平移前该子空间内一组基。下面我们对这一直觉进行严格的描述与证明。

定理 9.5

设 $A = x + S$ 为 $n$ 维平坦， $B = (x_{1}, \dots, x_{n})$ 为 $S$ 的一组有序基， $(B + x) \cup {x}$ 为 $A$ 的有序仿射基，则每个 $v \in A$ 具有唯一仿射组合表示

v = r_{1} (x_{1} + x) + \dots + r_{n} (x_{n} + x) + r_{n + 1} x,

(9.4.4)

系数 $r_{i}$ 称为 $v$ 关于有序仿射基 $B$ 的重心坐标（barycentric coordinate）。

证明

对于任意 $v \in A$ ，存在唯一的 $r_{i} \in F$ 使得 $v - x = \sum_{i = 1}^{n} r_{i} x_{i} \in S$ ，或者等价地写为 $v = \sum_{i = 1}^{n} r_{i} (x_{i} + x) + r_{n + 1} x \in aff ((B + x) \cup {x})$ ，其中 $r_{n + 1} = 1 - \sum_{i = 1}^{n} r_{i}$ 。因此 $A = aff ((B + x) \cup {x})$ ，同时 $(B + x) \cup {x}$ 的仿射无关性由定理 9.4保证，因此 $(B + x) \cup {x}$ 是 $A$ 的仿射基。

9.5仿射变换

定义 9.6 （仿射变换）

保持仿射组合的函数 $f : V \to V$ 称为仿射变换（affine transformation），即

i = 1 \sum n r_{i} = 1 ⟹ f (i = 1 \sum n r_{i} x_{i}) i = 1 \sum n r_{i} f (x_{i}) .

(9.5.1)

根据定义可以立即得到命题 9.2的对应结果。

命题 9.3

若 $F$ 的特征不为2，则函数 $f : V \to V$ 是仿射变换当且仅当其保持每对点的仿射组合，即

f (r x + (1 - r) y) = r f (x) + (1 - r) f (y) .

(9.5.2)

证明

充分性是显然的；必要性可通过归纳法采用与命题 9.2类似的讨论直接证明。

定义 9.7 （平移）

设 $v \in V$ ，则对于所有 $v \in V$ ，仿射映射 $T_{v} : V \to V, x \mapsto x + v$ 称为沿 $v$ 的平移（translation by $v$ ）。

对于任意 $τ \in L (V)$ ，容易验证任意复合 $T_{v} \circ τ$ 是仿射的。有趣的是，任意仿射变换也具有此形式。

定理 9.6

函数 $f : V \to V$ 是仿射变换当且仅当存在 $v \in V$ 和 $τ \in L (V)$ 使得 $f = T_{v} \circ τ$ 。

证明

必要性是显然的；对于充分性，设 $f (0) = - z$ ，取 $τ = T_{z} \circ f$ ，那么对于任意 $u, v \in V$ 和 $r, s \in F$

τ (r u + s v) = (T_{z} \circ f) (r u + s v) = f (r u + s v) + z = f (r u + s v + (1 - r - s) \cdot 0) + z = r f (u) + s f (v) + (1 - r - s) (- z) + z = r (f (u) + z) + s (f (v) + z) = r (T_{z} \circ f) (u) + s (T_{z} \circ f) (v) = r τ (u) + s τ (v),

(9.5.3)

因此 $τ : V \to V$ 是线性变换，进而 $(T_{- z} \circ τ) (v) = τ (v) - z = f (v)$ 对所有 $v \in V$ 成立，故 $f = T_{- z} \circ τ$ 。

推论 9.2

两个仿射变换的复合是仿射变换；
仿射变换 $T_{v} \circ τ$ 是双射当且仅当 $τ$ 是双射；
$V$ 上所有双射仿射变换构成的集合在映射复合下构成一个群，称为 $V$ 的仿射群（affine group）。

有时也将其意译为“仿射子空间”，不过这一术语在英文中有更明确的“affine subspace”作为对应