本征值与本征向量 · 纠缠理论的数学基础

由于线性算子 $τ \in L (V)$ 的特征多项式背后的动机涉及较为复杂的模论（参见^[1]），我们将采用与基本线性代数相似的思路：设 $A = [τ]_{B}$ 为 $τ$ 在有序基 $B$ 下的坐标矩阵，将行列式 $det (x I - A)$ 视为 $τ$ 的特征多项式 $c_{τ} (x)$ 或 $c_{A} (x)$ 的定义。由此出发，我们简单介绍本征值与本征向量的概念，对于涉及模论的部分则专注于结论、不纠结于证明细节。在本章中，所有向量空间均假定为有限维的。

6.1本征值与本征向量

根据特征多项式的定义 $c_{A} (x) = det (x I - A)$ ，标量 $λ \in F$ 是 $c_{A} (x)$ 的根当且仅当 $det (λ I - A) = 0$ 。特别地，若 $dim (V) = n$ ，则上式成立当且仅当 $(λ I - A) x = 0$ ，或者等价地， $τ_{A} x = λ x$ ，这里 $x$ 是 $n$ 维列向量。若根据 $[v]_{B} = x$ 定义向量 $v \in V$ ，则 $λ [v]_{B} = [τ]_{B} [v]_{B} = [τ v]_{B}$ 。这引出了如下定义。

定义 6.1 （本征值与本征向量）

设 $V$ 为域 $F$ 上的向量空间， $τ \in L (V)$ 。

若存在非零向量 $v \in V$ ，使得标量 $λ \in F$ 满足 $τ v = λ v$ ，则称 $λ$ 为 $τ$ 的本征值（eigenvalue）或特征值（characteristic value）。在这种情况下， $v$ 称为 $τ$ 的与 $λ$ 相关的本征向量（eigenvector）或特征向量（characteristic vector）；
若存在非零列向量 $x$ ，使得标量 $λ \in F$ 满足 $A x = λ x$ ，则称 $λ$ 为矩阵 $A$ 的本征值。在这种情况下， $x$ 称为 $A$ 的与 $λ$ 相关的本征向量或特征向量；
与给定的本征值 $λ$ 相关的所有本征向量集合（包括零向量）构成 $V$ 的一个子空间，称为 $λ$ 的本征空间（eigenspace），记为 $E_{λ}$ 。此概念适用于线性算子和矩阵；
算子或矩阵的全体本征值构成的集合称为算子或矩阵的谱（spectrum），记作 $Spec (τ)$ 。

根据上述定义，可以得到以下结果。

命题 6.1

设 $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ 为线性算子 $τ \in L (V)$ 的不同本征值。

与不同本征值相关联的本征向量线性无关，即如果非零的 $v_{i} \in E_{λ_{i}}$ ，则集合 ${v_{1}, \dots, v_{k}}$ 线性无关；
子空间和 $E_{λ_{1}} + \dots + E_{λ_{k}}$ 是直和，即 $E_{λ_{i}} \cap E_{λ_{j}} = {0}$ 对所有 $i \neq = j$ 成立。

证明

假设 ${v_{1}, \dots, v_{k}}$ 线性相关，考虑其所有非平凡线性组合 $r_{i_{1}} v_{i_{1}} + \dots + r_{i_{j}} v_{i_{j}} = 0$ ，其中 $r_{i_{1}}, \dots, r_{i_{j}} \in F$ 。对于满足上述条件的全体自然数 $i_{j}$ 构成的集合，根据定理 1.7，其中必然存在一个最小自然数 $i_{j}$ 。将线性算子 $τ$ 作用在方程两端，可得 $r_{i_{1}} λ_{i_{1}} v_{i_{1}} + r_{i_{j}} λ_{i_{j}} v_{i_{j}} = 0$ 。两式消去 $r_{i_{1}}$ 得 $r_{i_{2}} (λ_{i_{2}} - λ_{i_{1}}) + \dots + r_{i_{j}} (λ_{i_{j}} - λ_{i_{1}}) v_{i_{j}} = 0$ 。但显然该方程是具有更少项的非平凡线性组合，矛盾。因此 ${v_{1}, \dots, v_{k}}$ 线性无关；
当 $i \neq = j$ 时，设 $v \in E_{λ_{i}} \cap E_{λ_{j}}$ ，那么 $λ_{i} v = τ v = λ_{j} v$ ，而 $λ_{i} \neq = λ_{j}$ ，故 $v = 0$ ，即 $E_{λ_{i}} \cap E_{λ_{j}} = {0}$ 。

定理 6.1 （谱映射定理）

设 $V$ 为代数闭包 $F$ 上的一个向量空间， $τ \in L (V)$ 且 $p (x) \in F [x]$ ，那么

Spec (p (τ)) = p (Spec (τ)) = {p (λ) ∣ λ \in Spec (τ)} .

(6.1.1)

证明

对于任意 $λ \in Spec (τ)$ 和 $n$ 次多项式 $p (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k} \in F [x]$ ，利用归纳法容易证明 $τ^{k} v = λ^{k} v$ 对所有整数 $k \geq 1$ 成立，因此 $p (τ) v = p (λ) v$ ，即 $p (λ) \in Spec (p (τ))$ 。这意味着 $p (Spec (τ)) \subseteq Spec (p (τ))$ ；对于反向包含，设 $λ \in Spec (p (τ))$ ，则 $(p (τ) - λ) v = 0$ 。由于 $F$ 是代数闭包，总可将 $p (x)$ 分解为

p (x) - λ = (x - r_{1})^{e_{1}} \dots (x - r_{k})^{e_{k}},

(6.1.2)

其中 $r_{i} \in F$ ，正整数 $e_{i}$ 的和为 $de g (p (x)) = n$ 。对于 $p (τ) - λ$ 分解得到的一系列算子，我们可从最右侧的算子 $(x - r_{k})$ 开始，逐个将其左侧相邻的算子并入。如此至多 $(n - 1)$ 次操作后，必然存在某个向量 $u = (τ - r_{i})^{f_{i}} (τ - r_{i + 1})^{e_{i + 1}} \dots (τ - r_{k})^{e_{k}} v (f_{i} \leq e_{i})$ 使得 $u \neq = 0$ 但 $(τ - r_{i}) u = 0 (f_{i} < e_{i})$ 或 $(τ - r_{i - 1}) u = 0 (f_{i} = e_{i})$ ，否则 $(p (τ) - λ) v \neq = 0$ ，矛盾。将 $r_{i}$ 或 $r_{i - 1}$ 统一用 $r$ 表示，那么 $r$ 是 $τ$ 的本征值，进而 $λ = p (r) \in p (Spec (τ))$ ，得证。

6.2迹与行列式

定义 6.2 （矩阵的迹）

矩阵 $A \in M_{n} (F)$ 的迹（trace）为 $A$ 的主对角元上的元素，记作 $tr (A)$ 。

以下是迹的基本性质。

命题 6.3

设 $A, B \in M_{n} (F)$ 。

对于任意 $r \in F$ ， $tr (r A) = r tr (A)$ ；
$tr (A + B) = tr (A) + tr (B)$ ；
$tr (A B) = tr (B A)$ ；
$tr (A B C) = tr (C A B) = tr (B C A)$ ；
迹在相似变换下不变；
若 $F$ 是代数闭包，则 $tr (A)$ 是 $A$ 的本征值之和（包含重数）。若其特征多项式表示为 $c_{A} (x) = x^{n} + c_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + c_{1} (x) + c_{0}$ ，则 $tr (A) = - c_{n - 1}$ 。

证明

这里仅证明最后两条性质，其余性质可由矩阵加法、矩阵乘法和标量乘法法则直接验证。对于矩阵 $A \in M_{n} (F)$ 和任意可逆矩阵 $P \in M_{n} (F)$ ，容易验证

tr (P A P^{- 1}) = i \sum (P A P^{- 1})_{ii} = i, j, k \sum P_{i, j} A_{j, k} (P^{- 1})_{k, i} = j, k \sum A_{j, k} i \sum (P^{- 1})_{k, i} P_{i, j} = j, k \sum δ_{j, k} A_{j, k} = tr (A) .

(6.2.1)

设 $A = (a_{i, j}) \in M_{n} (F)$ ，那么根据行列式的展开规则，除去主对角线上元素的连乘，其余元素的乘积得到的多项式至多为 $(n - 2)$ 次。因此 $c_{A} (x)$ 中 $x^{n - 1}$ 项的贡献完全源于表达式 $(x - a_{1, 1}) \dots (x - a_{n, n})$ 中 $x^{n - 1}$ 项，即 $c_{n - 1} = - \sum_{i = 1}^{n} a_{i, i} = - tr (A)$ ；另一方面，由于 $F$ 是代数闭包，可将 $c_{A} (x)$ 表示为 $(x - λ_{1}) \dots (x - λ_{n})$ ，其中 $λ_{i}$ 为 $τ$ 的本征值，因此 $c_{n - 1} = - \sum_{i = 1}^{n} λ_{i}$ ，结论得证。

由于迹在相似变换下不变，我们可引入如下定义。

定义 6.3 （算子的迹）

线性算子 $τ \in L (V)$ 的迹为任意可表示 $τ$ 的矩阵的迹。

6.3可对角化算子

定义 6.4 （可对角化）

如果对于线性算子 $τ \in L (V)$ ，存在 $V$ 的有序基 $B = (v_{1}, \dots, v_{n})$ 使得矩阵 $[τ]_{B}$ 是对角的，或者等价地， $τ v_{i} = λ v_{i}$ 对所有 $i = 1, \dots, n$ 成立，则称 $τ$ 是可对角化的（diagonalizable）。

根据上述定义，容易看出可对角化的性质存在以下等价刻画。

命题 6.3

设 $τ \in L (V)$ ，则下列表述等价：

$τ$ 是可对角化的；
$V$ 具有一组完全由 $τ$ 的本征向量构成的一组基；
$V$ 具有直和分解 $V = E_{λ_{1}} \oplus \dots \oplus E_{λ_{k}}$ ，其中 $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ 是 $τ$ 的不同本征值。

我们已经在第第 3.6.9 小节小节讨论过，向量空间 $V$ 上单位算子的分解对应于 $V$ 的直和分解。对于 $V$ 上任意可对角化的线性算子 $τ$ ，我们有类似结论。

定理 6.2 （谱分解）

线性算子 $τ \in L (V)$ 可对角化当且仅当其具有谱分解（spectral resolution）：

τ = λ_{1} ρ_{1} + \dots + λ_{k} ρ_{k},

(6.3.1)

其中 $ρ_{1} + \dots + ρ_{k} = ι$ 是单位算子的分解， $λ_{i} \in F$ 互不相同。在此情形下， ${λ_{1}, \dots, λ_{k}}$ 是 $τ$ 的谱，并且

im (ρ_{i}) = E_{λ_{i}} and ker (ρ_{i}) = \oplus_{j \neq = i} E_{λ_{j}} .

(6.3.2)

证明

对于必要性，定理 3.11表明 $V = im (ρ_{1}) \oplus \dots \oplus im (ρ_{k})$ ，其中 $ρ_{i}$ 是沿 $\oplus_{j \neq = i} im (ρ_{j})$ 到 $im (ρ_{i})$ 上的投影。任意取定非零向量 $v \in V$ ，可得到 $τ (ρ_{i} v) = λ_{i} ρ_{i} (ρ_{i} v) = λ_{i} (ρ_{i} v)$ 。可见 $ρ_{i} v \in E_{λ_{i}}$ ，即 $im (ρ_{i}) \subseteq E_{λ_{i}}$ ，因此根据命题 6.1，

V = im (ρ_{1}) \oplus \dots \oplus im (ρ_{k}) \subseteq E_{λ_{1}} \oplus \dots \oplus E_{λ_{k}} \subseteq V .

(6.3.3)

故 $V = E_{λ_{1}} \oplus \dots \oplus E_{λ_{k}}$ ，根据命题 6.3， $τ$ 可对角化。反之对于充分性，若 $V = E_{λ_{1}} \oplus \dots \oplus E_{λ_{k}}$ 且 $λ_{i}$ 互不相同，那么将 $ρ_{i}$ 取为沿 $\oplus_{j \neq = i} E_{λ_{j}}$ 到 $E_{λ_{i}}$ 上的投影算子。根据定理 3.11， $ρ_{1} + \dots + ρ_{k} = ι$ 是单位算子的分解。对于任意 $v \in V$ ，由于 $ρ_{i} v \in im (ρ_{i}) = E_{λ_{i}}$ ，容易证明

τ v = τ (ρ_{1} + \dots + ρ_{k}) v = λ_{1} (ρ_{1} v) + \dots + λ_{k} (ρ_{k} v) = (λ_{1} ρ_{1} + \dots + λ_{k} ρ_{k}) v,

(6.3.4)

因此 $τ = λ_{1} ρ_{1} + \dots + λ_{k} ρ_{k}$ ，其中 $λ_{i}$ 互不相同。