函数与积分

12.1可测函数

在引入可测函数之前，我们先介绍一个基本结果。

命题 12.1

设 $(X, A)$ 是一个可测空间， $A \in A$ 是 $X$ 的一个子集。对于函数 $f : A \to [- \infty, + \infty]$ ，以下条件等价：

对于每个实数 $t$ ，集合 ${x \in A ∣ f (x) \leq t} \in A$ ；
对于每个实数 $t$ ，集合 ${x \in A ∣ f (x) < t} \in A$ ；
对于每个实数 $t$ ，集合 ${x \in A ∣ f (x) \geq t} \in A$ ；
对于每个实数 $t$ ，集合 ${x \in A ∣ f (x) > t} \in A$ 。

证明

若表述1成立，则 ${x \in A ∣ f (x) < t} = \cup_{n} {x \in A ∣ f (x) \leq t - 1/ n} \in A$ ，表述2成立；
若表述2成立，则 ${x \in A ∣ f (x) \geq t} = {x \in A ∣ f (x) < t}^{c} \in A$ ，表述3成立；
若表述3成立，则 ${x \in A ∣ f (x) > t} \in A = \cap_{n} {x \in A ∣ f (x) \geq t + 1/ n} \in A$ ，表述4成立；
若表述4成立，则 ${x \in A ∣ f (x) \leq t} = {x \in A ∣ f (x) > t}^{c} \in A$ ，表述1成立。

定义 12.1 （可测函数）

设 $(X, A)$ 为可测空间， $A \in A$ 是 $X$ 的一个子集。若函数 $f : A \to [- \infty, + \infty]$ 满足命题 12.1的任一条件，则称其关于 $A$ 可测（measurable with respect to $A$ ）。关于 $A$ 可测的函数有时也称为 $A$ -可测（ $A$ -measurable）；当 $σ$ -代数在上下文明确时，简称为可测。关于 $B (R^{d})$ 可测的函数称为Borel可测（Borel measurable）或Borel函数（Borel function），关于 $M_{λ^{*}}$ 可测的函数称为Lebesgue可测（Lebesgue measurable）。

注

根据命题 11.13，显然每个 $R^{d}$ 上的Borel可测函数是Lebesgue可测的。

我们先讨论一些可测函数的例子，随后讨论可测函数的基本性质。

例 12.1

设 $f : R^{d} \to R$ 连续，则对于每个实数 $t$ ， $f^{- 1} ((- \infty, t)) = {x \in R^{d} ∣ f (x) < t}$ 是开集，故 $f$ 是Borel可测的；
设 $I$ 是 $R$ 的一个子区间， $f : I \to R$ 是非减的。那么对于每个实数 $t$ ，集合 ${x \in I ∣ f (x) < t} \subseteq I$ （可能为空）是一个Borel集，因此 $f$ 是Borel可测的；
设 $(X, A)$ 是一个可测空间， $B$ 是 $X$ 的一个子集。那么 $B$ 的示性函数 $χ_{B}$ 是 $A$ -可测的当且仅当¹ $B \in A$ ；
若一个函数只有有限多个非零值，则称其为简单函数（simple function）。设 $(X, A)$ 是一个可测空间， $f : X \to [- \infty, + \infty]$ 是简单函数， $α_{1}, \dots, α_{n}$ 是 $f$ 的值，则 $f$ 是 $A$ -可测的当且仅当² ${x \in X ∣ f (x) = α_{i}} \in A$ 对所有 $i = 1, \dots, n$ 成立。

命题 12.2

设 $(X, A)$ 为可测空间， $A \in A$ 是 $X$ 的子集， $f$ 和 $g$ 为 $A$ 上取值于 $[- \infty, + \infty]$ 的可测函数。那么集合 ${x \in A ∣ f (x) < g (x)}, {x \in A ∣ f (x) \leq g (x)}$ 和 ${x \in A ∣ f (x) = g (x)}$ 均属于 $A$ 。

证明

利用有理数的稠密性（定理 1.8）及其可数性（命题 1.7），

{x \in A ∣ f (x) < g (x)} = r \in Q ⋃ ({x \in A ∣ f (x) < r} \cup {x \in A ∣ r < g (x)}) \in A,

(12.1.1)

因此我们有

{x \in A ∣ f (x) \leq g (x)} = {x \in A ∣ g (x) < f (x)}^{c} \in A,

(12.1.2)

{x \in A ∣ f (x) = g (x)} = {x \in A ∣ f (x) \leq g (x)} \cap {x \in A ∣ g (x) \leq f (x)} \in A .

(12.1.3)

定义 12.2

设 $f$ 和 $g$ 为 $A$ 上取值于 $[- \infty, + \infty]$ 的函数， $(f_{n})$ 为 $A$ 上取值于 $[- \infty, + \infty]$ 的函数列。

$f$ 和 $g$ 最大值和最小值分别定义为

$(f \lor g) (x) = max {f (x), g (x)} and (f \land g) (x) = min {f (x), g (x)} .$
(12.1.4)
$(f_{n})$ 的上确界和下确界分别定义为

$(sup_{n} f_{n}) (x) = sup {f_{n} (x) ∣ n \in N} and (in f_{n} f_{n}) (x) = in f {f_{n} (x) ∣ n \in N} .$
(12.1.5)
$(f_{n})$ 的上极限和下极限分别定义为

$(n lim sup f_{n}) (x) = lim sup {f_{n} (x) ∣ n \in N} and (n lim inf f_{n}) (x) = lim inf {f_{n} (x) ∣ n \in N} .$
(12.1.6)
$(f_{n})$ 的极限定义为 $(lim_{n} f_{n}) (x) = lim {f_{n} (x) ∣ n \in N}$ 。

注

根据命题 1.25， $(lim_{n} f_{n}) (x)$ 定义在集合 ${x \in A ∣ lim sup_{n} f_{n} (x) = lim inf_{n} f_{n} (x)}$ 上，未必定义在整个 $A$ 上。

命题 12.3

设 $(X, A)$ 为可测空间， $A \in A$ 是 $X$ 的一个子集， $f$ 和 $g$ 为 $A$ 上取值于 $[- \infty, + \infty]$ 的函数，则 $f \lor g$ 和 $f \land g$ 均为 $A$ -可测的。

证明

$f \lor g$ 和 $f \land g$ 的可测性源于如下恒等式：

{x \in A ∣ (f \lor g) (x) < t} = {x \in A ∣ f (x) < t} \cap {x \in A ∣ g (x) < t} \in A,

(12.1.7)

{x \in A ∣ (f \land g) (x) < t} = {x \in A ∣ f (x) < t} \cup {x \in A ∣ g (x) < t} \in A .

(12.1.8)

命题 12.4

设 $(X, A)$ 为可测空间， $A \in A$ 是 $X$ 的一个子集， $(f_{n})$ 为 $A$ 上取值于 $[- \infty, + \infty]$ 的可测函数列，那么

函数 $sup_{n} f_{n}$ 和 $in f_{n} f_{n}$ 是 $A$ -可测的；
函数 $lim sup_{n} f_{n}$ 和 $lim inf_{n} f_{n}$ 是 $A$ -可测的；
定义在 $A_{0} = {x \in A ∣ lim sup_{n} f_{n} (x) = lim inf_{n} f_{n} (x)}$ 上的函数 $lim_{n} f_{n}$ 是 $A$ -可测的。

证明

$sup_{n} f_{n}$ 和 $in f_{n} f_{n}$ 的可测性源于如下恒等式：

${x \in A ∣ sup_{n} f_{n} (x) < t} = n ⋂ {x \in A ∣ f_{n} (x) < t} \in A,$
(12.1.9)
${x \in A ∣ in f_{n} f_{n} (x) < t} = n ⋃ {x \in A ∣ f_{n} (x) < t} \in A .$
(12.1.10)
对于每个正整数 $k$ ，可定义 $f_{k} = sup {f_{n} ∣ n \geq k}$ 和 $g_{k} = in f {f_{n} ∣ n \geq k}$ 。根据命题 1.26，

${x \in A ∣ n lim sup f_{n} (x) < t} = {x \in A ∣ in f_{k} f_{k} (x) < t} \in A,$
(12.1.11)
${x \in A ∣ n lim inf f_{n} (x) < t} = {x \in A ∣ sup_{k} g_{k} (x) < t} \in A .$
(12.1.12)
根据上述结论与命题 12.2， $lim sup_{n} f_{n}$ 和 $lim sup_{n} g_{n}$ 是 $A$ -可测的，因此 $A_{0} \in A$ ，进而

${x \in A_{0} ∣ lim_{n} f_{n} (x) < t} = A_{0} \cap {x \in A ∣ n lim sup f_{n} (x) < t} \in A .$
(12.1.13)

在以下两个命题中，我们讨论取值于 $[0, + \infty]$ 的可测函数在 $R$ 上的算术运算；对于取值于 $[- \infty, + \infty]$ 的函数，其算术运算更棘手，也较少使用。

命题 12.5

设 $(X, A)$ 为可测空间， $A \in A$ 是 $X$ 的一个子集， $f$ 和 $g$ 为 $A$ 上取值于 $[0, + \infty]$ 的可测函数， $α$ 为非负实数，那么 $α f$ 和 $f + g$ 是可测的。

证明

当 $α = 0$ 时， ${x \in A ∣ α f (x) \leq t} = A \in A$ 对所有 $t \geq 0$ 成立；当 $α > 0$ 时， ${x \in A ∣ α f (x) \leq t} = {x \in A ∣ f (x) \leq t / α} \in A$ ，因此 $α f$ 可测。利用有理数的稠密性（定理 1.8）及其可数性（命题 1.7），

{x \in A ∣ (f + g) (x) < t} = r \in Q ⋃ ({x \in A ∣ f (x) < r} \cap {x \in A ∣ r < t - g (x)}) \in A,

(12.1.14)

因此 $f + g$ 也是可测的。

命题 12.6

设 $(X, A)$ 为可测空间， $A \in A$ 是 $X$ 的一个子集， $f$ 和 $g$ 为 $A$ 上的实值可测函数， $α$ 为实数，那么 $α f, f + g, f - g, f g$ 和 $f / g$ 可测，其中 $f / g$ 的定义域为 ${x \in A ∣ g (x) \neq = 0}$ 。

证明

仿照命题 12.5的证明，分 $α$ 为正、为负、为零的三种情况讨论，可证明 $α f, f + g$ 可测。另外， $- g = (- 1) g$ 也可测，因此 $f - g = f + (- g)$ 可测。下面证明 $h$ 可测时 $h^{2}$ 也可测。首先对于实数 $t \leq 0$ ， ${x \in A ∣ h^{2} (x) < t} = \emptyset \in A$ ；对于 $t > 0$ ， ${x \in A ∣ h^{2} (x) < t} = {x \in A ∣ h (x) < t} \cap {x \in A ∣ h (x) > - t} \in A$ 。因此 $h^{2}$ 可测，进而 $f g = [(f + g)^{2} - (f^{2} + g^{2})] /2$ 可测。现在设 $A_{0} = {x \in A ∣ g (x) \neq = 0}$ 为 $f / g$ 的定义域，那么 ${x \in A_{0} ∣ (f / g) (x) < t}$ 恰好为

({x \in A ∣ g (x) > 0} \cap {x \in A ∣ f (x) < t g (x)}) \cup ({x \in A ∣ g (x) < 0} \cap {x \in A ∣ f (x) > t g (x)}),

(12.1.15)

而括号内的两个集合各自属于 $A$ ，故 $f / g$ 可测。

定义 12.3 （可测函数的正部与负部）

设 $A$ 是一个集合， $f$ 是 $A$ 上的扩充实值函数，那么其正部（positive part）与负部（negative part）分别是定义为 $f^{+} = f \lor 0$ 和 $f^{-} = - f \lor 0$ 的扩充实值函数，即对于任意 $x \in A$ ，

f^{+} (x) = max {f (x), 0} and f^{-} (x) = min {f (x), 0} .

(12.1.16)

注

若 $(X, A)$ 是可测空间，那么命题 12.3和命题 12.6表明，那么定义在 $X$ 的子集 $A$ 上的函数 $f$ 可测当且仅当 $f^{+}$ 和 $f^{-}$ 均可测，此时 $∣ f ∣ = f^{+} + f^{-}$ 也可测。

命题 12.7

设 $(X, A)$ 为可测空间， $A \in A$ 是 $X$ 的一个子集， $f$ 为 $A$ 上取值于 $[- \infty, + \infty]$ 的可测函数。

若 $f$ 是 $A$ -可测的， $B \in A$ 是 $A$ 的一个子集，则 $f$ 在 $B$ 上的限制是 $A$ -可测的；
若 ${B_{n}}$ 是属于 $A$ 的一个集合列且 $A = \cup_{n} B_{n}$ ，同时对于每个 $n$ ， $f$ 在 $B_{n}$ 上的限制是 $A$ -可测的，则 $f$ 是 $A$ -可测的。

证明

该结论源于以下两个恒等式（请读者自行证明）：

{x \in B ∣ f (x) < t} = B \cap {x \in A ∣ f (x) < t} \in A,

(12.1.17)

{x \in A ∣ f (x) < t} = n ⋃ {x \in B_{n} ∣ f (x) < t} \in A .

(12.1.18)

在本章后续讨论中，我们将反复用到以下基本结果。

命题 12.8

设 $(X, A)$ 为可测空间， $A \in A$ 是 $X$ 的一个子集， $f$ 为 $A$ 上取值于 $[0, + \infty]$ 的可测函数，那么存在 $A$ 上取值于 $[0, + \infty)$ 的可测简单函数列，其满足

f_{1} (x) \leq f_{2} (x) \leq \dots and f (x) = n lim f_{n} (x) for each x in A .

(12.1.19)

证明

对于每个正整数 $n$ 和正整数 $k \in {1, \dots, n 2^{n}}$ ， $f$ 可测要求 $A_{n, k} = {x \in A ∣ (k - 1) / 2^{n} \leq f (x) < k / 2^{n}} \in A$ 。定义从 $A$ 到 $R$ 的函数列 $(f_{n})$ ，使得 $f_{n}$ 在 $A_{n, k}$ 上每个点取值为其左端点值 $(k - 1) / 2^{n}$ ，而在 $A - \cup_{k} A_{n, k}$ 上每个点取值为 $n$ 。可见每个 $f_{n} (x)$ 只有 $n 2^{n} + 1$ 个取值，是简单函数；根据例例 12.1中的讨论， $f_{n}$ 可测当且仅当 ${x \in A ∣ f_{n} (x) = (k - 1) / 2^{n}} = A_{n, k} \in A$ 且 ${x \in A ∣ f_{n} (x) = n} = A - \cup_{k} A_{n, k} \in A$ 。这意味着对于任意实数 $t$ ， ${x \in A ∣ f_{n} (x) < t}$ 包含至多可数个 $A_{n, k}$ 关于 $k$ 的并集，因此 $f_{n}$ 可测。容易验证函数列 $(f_{n})$ 关于 $n$ 在每个 $x \in A$ 上单调递增，下面证明该函数列收敛到 $f$ 。若 $f (x) < + \infty$ ，根据Archimedean性质（命题 1.19）以及定理 1.7，存在最小的正整数 $n$ 使得 $n - 1 \leq f (x) < n$ ，即 $x \in \cup_{k} A_{n, k}$ ，那么存在正整数 $k$ 使得 $x \in A_{n, k}$ ，使得 $∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ = f (x) - f_{n} (x) < n - (n - 1/ 2^{n}) = 1/ 2^{n}$ ，因此 $lim_{n} f_{n} (x) = x$ ；若 $f (x) = + \infty$ ，那么根据 $A_{n, k}$ 的定义， $x \in A - \cup_{k} A_{n, k}$ 对所有正整数 $n$ 成立，因此 $f_{n} (x) = n$ ，从而 $lim_{n} f_{n} (x) = + \infty = f (x)$ 。

推论 12.1

设 $(X, A)$ 为可测空间， $A \in A$ 是 $X$ 的一个子集， $f$ 为 $A$ 上取值于 $[0, + \infty]$ 的可测函数，那么存在 $A$ 上取值于 $R$ 的可测简单函数列，使得 $f (x) = lim_{n} f_{n} (x)$ 对每个 $x \in A$ 成立。

证明

根据命题 12.3， $f$ 的正部 $f^{+}$ 和负部 $f^{-}$ 均可测，因此根据命题 12.8，分别存在取值于 $[0, + \infty)$ 的简单函数列 $(f_{n}^{+})$ 和 $(f_{n}^{-})$ ，使得 $f^{+} (x) = lim_{n} f_{n}^{+} (x)$ 和 $f^{-} (x) = lim_{n} f_{n}^{-} (x)$ 对每个 $x \in A$ 成立。根据命题 12.6，对每个 $n$ 定义可测简单函数 $f_{n} = f_{n}^{+} - f_{n} -$ ，从而 $lim_{n} f_{n} (x) = f (x)$ 对每个 $x \in A$ 成立。

以下命题给出了一些考虑可测函数的其他方法，其中最后一种可用于处理更一般的情形。

命题 12.9

设 $(X, A)$ 为可测空间， $A \in A$ 是 $X$ 的一个子集。对于函数 $f : A \to R$ ，以下条件等价：

$f$ 关于 $A$ 可测；
对于 $R$ 的每个开集 $U$ ，集合 $f^{- 1} (U) \in A$ ；
对于 $R$ 的每个闭集 $C$ ，集合 $f^{- 1} (C) \in A$ ；
对于 $R$ 的每个Borel子集 $B$ ，集合 $f^{- 1} (B) \in A$ 。

证明

由于涉及Borel子集，我们需要构造一个包含所有开集的 $σ$ 代数。设子集族 $F = {B \subseteq R ∣ f^{- 1} (B) \in A}$ ，那么首先有 $f^{- 1} (R) = A \in A$ ；对于任意 $B \in F$ ， $f^{- 1} (B^{c}) = (f^{- 1} (B))^{c} \in A$ ，因此 $B^{c} \in F$ ；对于任意子集族 ${B_{n}} \in F$ ， $f^{- 1} (\cup_{n} B_{n}) = \cup_{n} f^{- 1} (B_{n}) \in A$ ，因此 $\cup_{n} B_{n} \in A$ 。综上， $F$ 构成一个 $σ$ -代数。根据命题 12.1， $f$ 关于 $A$ 可测当且仅当 ${x \in A ∣ f (x) \leq b} = f^{- 1} ((- \infty, b]) \in A$ ，因此 $(- \infty, b] \in F$ ；根据命题 11.2， $F$ 包含所有形如 $(- \infty, b]$ 的区间当且仅当 $F$ 包含Borel $σ$ -代数，因此表述1和表述4等价。再次利用命题 11.2表述2、表述3和表述4彼此等价。

在本节先前的所有讨论中，我们仅考虑 $f$ 是取值于扩充实数的函数，即 $f$ 是从可测空间 $(X, A)$ 到可测空间 $(R, B (R))$ 的映射。若函数 $f$ 的像为一般可测空间，其可测性也有类似的推广定义。

定义 12.4 （可测函数）

设 $(X, A)$ 和 $(Y, B)$ 为可测空间。对于函数 $f : X \to Y$ 以及 $B$ 中的每个 $B$ ，若集合 $f^{- 1} (B) \in A$ ，则称 $f$ 关于 $A$ 和 $B$ 可测（measurable with respect to $A$ and $B$ ）；有时也称 $f$ 是从 $(X, A)$ 到 $(Y, B)$ 的可测函数（measurable function），或者简单称 $f : (X, A) \to (Y, B)$ 是可测的。类似地，对于子集 $A \subseteq X$ 以及函数 $f : A \to Y$ ，若 $A \in A$ 且 $f^{- 1} (B) \in A$ 对所有 $B \in B$ 成立，则称 $f$ 可测。

根据定义，我们很容易证明复合函数的可测性。

命题 12.10

设 $(X, A), (Y, B)$ 和 $(Z, C)$ 为可测空间， $f : (Y, B) \to (Z, C)$ 和 $g : (X, A) \to (Y, B)$ 均可测，则 $f \circ g : (X, A) \to (Z, C)$ 也是可测的。

下述结论对于验证函数的可测性往往十分有用。

命题 12.11

设 $(X, A)$ 和 $(Y, B)$ 为可测空间， $B_{0}$ 为 $Y$ 的子集族，满足 $σ (B_{0}) = B$ ，那么函数 $f : X \to Y$ 关于 $A$ 和 $B$ 可测当且仅当 $f^{- 1} (B) \in A$ 对每个 $B_{0}$ 中的 $B$ 成立。

证明

充分性是显然的；对于必要性，设 $f^{- 1} (B) \in A$ 对 $B_{0}$ 中每个 $B$ 成立， $F = {B \subseteq Y ∣ f^{- 1} (B) \in A}$ 。类似命题 12.9的证明，可知 $F$ 是一个 $σ$ -代数。由于 $F$ 包含 $B_{0}$ ，故 $B = σ (B_{0}) \subseteq F$ 。

12.2积分

在正式开始本章内容之前，我们需要先引入“几乎处处成立”的概念；这一概念有时放宽了 $f$ 在整个定义域上的要求。

定义 12.5 （

μ

-几乎处处成立）

设 $(X, A, μ)$ 为测度空间，若 $X$ 中使得某个性质不成立的点集是 $μ$ -可忽略的（ $μ$ -negligible），则称该性质在 $X$ 上 $μ$ -几乎处处成立（hold $μ$ -almost everywhere）；换言之，若存在集合 $N \in A$ 满足 $μ (N) = 0$ 且包含性质不成立的每个点，则称该性质 $μ$ -几乎处处成立。更一般地，若 $E$ 是 $X$ 的一个子集，那么使得 $E$ 中该性质不成立的点集是 $μ$ -可忽略的性质称为 $μ$ -几乎处处成立。 $μ$ -几乎处处成立常简写为 $μ$ -a.e.或a.e. $[μ]$ 。当测度 $μ$ 在上下文明确时，也常几乎处处成立简写为a.e.。

注

对于几乎处处成立的性质，设 $F$ 为 $X$ 中使得该性质不成立的点构成的集合，需要注意 $F$ 不必属于 $A$ ，只要求存在包含 $F$ 的 $A$ -可测子集 $N$ 。当然，若 $μ$ 完备，则有 $F \in A$ 。

2.1 简单函数的积分

定义 12.6 （积分）

设 $(X, A, μ)$ 为测度空间， $S$ 为 $X$ 上所有简单实值 $A$ -可测函数构成的族， $S_{+}$ 为 $S$ 中所有非负函数构成的族。若 $f \in S_{+}$ 且由 $f = \sum_{i = 1}^{m} a_{x} χ_{A_{i}}$ 给出，其中 $a_{1}, \dots, a_{m}$ 为非负实值， $A_{1}, \dots, A_{m} \in A$ 是 $X$ 的不相交子集，那么 $f$ 关于 $μ$ 的积分（integral） $\int f d μ$ 定义为 $\sum_{i = 1}^{m} a_{i} μ (A_{i})$ 。

注

这里需要说明的是，积分 $\int f d μ$ 仅依赖于简单函数 $f$ 本身而不依赖于其展开表示 $\sum_{i = 1}^{m} a_{i} μ (A_{i})$ 。设 $f$ 还可以表示为 $\sum_{j = 1}^{n} b_{j} χ_{B_{j}}$ ，其中 $b_{1}, \dots, b_{n}$ 是非负实值， $B_{1}, \dots, B_{n} \in A$ 是 $X$ 的不相交子集。若 $\cup_{i = 1}^{m} A_{i} \subseteq \cup_{j = 1}^{n} B_{j}$ ，则记 $A_{m + 1} = (\cup_{i = 1}^{m} A_{i}) \ (\cup_{j = 1}^{n} B_{j})$ 并取 $a_{m + 1} = 0$ ；反之类似。因此不失一般性，总可以设 $\cup_{i = 1}^{m} A_{i} = \cup_{j = 1}^{n} B_{j}$ ，进而 $A_{i} = A_{i} \cap (\cup_{i = 1}^{m} A_{i}) = A_{i} \cap (\cup_{j = 1}^{m} B_{j}) = \cup_{j = 1}^{m} (A_{i} \cap B_{j})$ ，其中 $A_{i} \cap B_{j}$ 关于不同的 $i$ 和 $j$ 不相交。另外，在非空的 $A_{i} \cap B_{j}$ 上， $a_{i} = a_{i} χ_{A_{i}} (A_{i} \cap B_{j}) = b_{j} χ_{B_{j}} (A_{i} \cap B_{j}) = b_{j}$ ，因此

i = 1 \sum m a_{i} μ (A_{i}) = i = 1 \sum m a_{i} j = 1 \sum n μ (A_{i} \cap B_{j}) = j = 1 \sum n b_{j} i = 1 \sum m μ (A_{i} \cap B_{j}) = j = 1 \sum n b_{j} μ (B_{j}) .

(12.2.1)

可见 $\int f d μ$ 不依赖于 $f$ 的具体形式表达。

首先证明一些关于简单函数积分的基本性质。

命题 12.12

设 $(X, A, μ)$ 为可测空间， $f, g \in S_{+}$ ， $α$ 为非负实数，则

$\int α f d μ = α \int f d μ$ ；
$\int (f + g) d μ = \int f d μ + \int g d μ$ ；
若 $f (x) \leq g (x)$ 对 $X$ 中每个点成立，则 $\int f d μ \leq \int g d μ$ 。

证明

设 $f = \sum_{i = 1}^{m} a_{i} χ_{A_{i}}$ ，其中 $a_{i}$ 是非负实值， $A_{i} \in A$ 是 $X$ 的不相交子集。类似可设 $g = \sum_{j = 1}^{n} b_{j} χ_{B_{j}}$ 。性质1是显然的，对于性质2和3，利用测度的可数可加性与非负性，

\int (f + g) d μ = i, j \sum (a_{i} + b_{j}) μ (A_{i} \cap B_{j}) = i = 1 \sum m a_{i} j = 1 \sum n μ (A_{i} \cap B_{j}) + j = 1 \sum n b_{j} i = 1 \sum m μ (A_{i} \cap B_{j})

= i = 1 \sum m a_{i} μ (A_{i}) + j = 1 \sum n b_{j} μ (B_{j}) = \int f d μ + \int g d μ,

(12.2.2)

\int g d μ = \int [f + (g - f)] d μ = \int f d μ + \int (g - f) d μ \geq \int f d μ .

(12.2.3)

命题 12.13

设 $(X, A, μ)$ 为测度空间， $f \in S_{+}$ ， $(f_{n})$ 为 $S_{+}$ 中的非减序列，且使得 $f (x) = lim_{n} f_{n} (x)$ 对每个 $X$ 中的 $x$ 成立，那么 $\int f d μ = lim_{n} \int f_{n} d μ$ 。

证明

根据命题 12.12，首先有 $\int f_{1} d μ \leq \int f_{2} d μ \leq \dots$ 。根据单调收敛准则（定理 1.12），实数列 $(\int f_{n} d μ)$ 极限存在。假设存在 $n_{0} \in N$ 使得 $f_{n_{0}} (x) > f (x)$ ，那么存在正数 $ϵ_{0} < f_{0} (x) - f (x)$ ，使得 $∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ \geq ϵ$ 对所有 $n \geq n_{0}$ 成立，这与 $lim_{n} f_{n} (x) = f (x)$ 矛盾。因此 $f_{n} (x) \leq f (x)$ ，根据命题 12.12， $\int f_{n} d μ \leq \int f d μ$ 对所有 $n \in N$ 成立。利用极限的单调性（定理 1.15）， $lim_{n} \int f_{n} d μ \leq \int f d μ$ ；对于反向不等式，设 $ϵ \in (0, 1)$ ，我们希望构造 $S_{+}$ 中的非减函数列 $(g_{n})$ ，使得 $g_{n} \leq f_{n}$ 对每个 $n$ 成立，同时满足 $lim_{n} g_{n} d μ = (1 - ϵ) \int f d μ$ 。设 $a_{1}, \dots, a_{m}$ 为 $f$ 的非零值， $A_{i}$ 为 $f$ 取值为 $a_{i}$ 时对应的 $X$ 的子集。仿照命题 12.8的构造，设 $A_{n, i} = {x \in A_{i} ∣ f_{n} (x) \geq (1 - ϵ) a_{i}} \subseteq A_{i}$ 。根据例例 12.1的讨论， $f$ 可测当且仅当 $A_{i} = {x \in X ∣ f (x) = a_{i}} \in A$ 对所有 $i$ 成立，那么 $A_{n, i}$ 是有限个 $A_{i} \in A$ 的并集，因而 $A_{n, i} \in A$ 。由于 $(f_{n})$ 非减，对于给定的 $i$ ，集合 ${A_{n, i}}_{n = 1}^{\infty}$ 也是非减的。对于任意 $x \in A_{i}$ ，存在 $n_{0} \in N$ 使得 $∣ f (x) - f_{n} (x) ∣ \leq ϵ a_{i}$ 对所有 $n \geq n_{0}$ 成立，即 $x \in \cup_{n \geq n_{0}} A_{n, i} \subseteq \cup_{n} A_{n, i}$ ；反之 $A_{n, i} \subseteq A_{i}$ 显然给出 $\cup_{n} A_{n, i} \subseteq A_{i}$ 。因此 $A_{i} = \cup_{n} A_{n, i}$ ，定义 $g_{n} = (1 - ϵ) \sum_{i = 1}^{m} a_{i} χ_{A_{n, i}} \in S_{+}$ ，那么对于任意 $x \in A_{n, i}$ ， $g_{n} (x) \leq (1 - ϵ) a_{i} \leq f_{n} (x)$ ；对于任意 $x \in X \ (\cup_{i = 1}^{m} A_{n, i})$ ， $g_{n} (x) = 0 \leq f_{n} (x)$ 。综上， $g_{n} \leq f_{n}$ 对每个 $n$ 成立；并且根据命题 11.7， ${A_{n, i}}$ 关于 $n$ 递增意味着 $lim_{n} μ (A_{n, i}) = μ (\cup_{n} A_{n, i}) = μ (A_{i})$ ，因此

n lim \int g_{n} d μ = (1 - ϵ) n lim i = 1 \sum m a_{i} μ (A_{n, i}) = (1 - ϵ) i = 1 \sum m a_{i} μ (A_{i}) = (1 - ϵ) \int f d μ .

(12.2.4)

利用命题 12.12和极限的单调性， $(1 - ϵ) \int f d μ \leq lim_{n} \int f_{n} d μ \leq \int f d μ$ 对任意 $ϵ \in (0, 1)$ 成立，因此等号成立。

注

该结论是下一节中单调收敛定理 12.1的弱化版，不过现在我们尚且需要利用此结论定义积分。

2.2 取值于 $[0, + \infty]$ 函数的积分

定义 12.7 （积分）

设 $(X, A, μ)$ 为测度空间，对于 $X$ 上取值于 $[0, + \infty]$ 的 $A$ -可测函数 $f$ ，其Lebesgue积分定义为

\int f d μ = sup {\int g d μ g \in S_{+} and g \leq f} .

(12.2.5)

类似地，我们也证明一些关于取值于 $[0, + \infty]$ 的可测函数积分的基本性质。

命题 12.14

设 $(X, A, μ)$ 为测度空间， $f$ 为 $X$ 上取值于 $[0, + \infty]$ 的 $A$ -可测函数， $(f_{n})$ 为 $S_{+}$ 中使得 $f (x) = lim_{n} f_{n} (x)$ 对 $X$ 中每个 $x$ 成立的非减简单函数列，则 $\int f d μ = lim_{n} \int f_{n} d μ$ 。

证明

作为命题 12.13的推广，仿照其证明首先有 $lim_{n} \int f_{n} d μ \leq \int f d μ$ ；对于反向不等式，设 $g$ 为 $S_{+}$ 中任意满足 $g \leq f$ 的 $A$ -可测函数，那么 $(g \land f_{n})$ 是 $S_{+}$ 中的非减函数列。另外对于 $X$ 中的每个 $x$ 以及任意正数 $ϵ$ ，存在 $n_{0} \in N$ 使得 $∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ < ϵ$ 对所有 $n \geq n_{0}$ 成立。若 $g (x) = f (x)$ ，则 $∣ (g \land f_{n}) (x) - g (x) ∣ = f (x) - min {f (x), f_{n} (x)} = max {0, f (x) - f_{n} (x)} < ϵ$ 对所有 $n \geq n_{0}$ 成立；若 $g (x) < f (x)$ ，则取 $ϵ < f (x) - g (x)$ ，使得 $∣ (g \land f_{n}) (x) - g (x) ∣ = ∣ max {0, g (x) - f_{n} (x)} ∣ = 0 < ϵ$ 对所有 $n \geq n_{0}$ 成立。因此 $lim_{n} (g \land f_{n}) = g$ 。根据命题 12.13以及极限的单调性（定理 1.15）， $\int g d μ = lim_{n} \int (g \land f_{n}) d μ \leq lim_{n} \int f_{n} d μ$ 。

命题 12.15

设 $(X, A, μ)$ 为测度空间， $f$ 和 $g$ 为 $X$ 上取值于 $[0, + \infty]$ 的 $A$ -可测函数， $α$ 为非负实数，则

$\int α f d μ = α \int f d μ$ ；
$\int (f + g) d μ = \int f d μ + \int g d μ$ ；
若 $f (x) \leq g (x)$ 对 $X$ 中每个点成立，则 $\int f d μ \leq \int g d μ$ 。

证明

根据命题 12.8，存在 $A$ 上取值于 $[0, + \infty)$ 的非减可测简单函数列 $(f_{n})$ 和 $(g_{n})$ ，使得 $f lim_{n} f_{n}$ 且 $g = lim_{n} g_{n}$ 。根据命题 12.12， $\int α f_{n} d μ = α \int f_{n} d μ$ 和 $\int (f_{n} + g_{n}) d μ = \int f_{n} d μ + \int g_{n} d μ$ 对每个 $n \in N$ 成立。根据命题 12.14，

\int α f d μ = n lim \int α f_{n} d μ = α n lim \int f_{n} d μ = α \int f d μ,

(12.2.6)

\int (f + g) d μ = n lim \int (f_{n} + g_{n}) d μ = n lim (\int f_{n} d μ + \int g_{n} d μ) = \int f d μ + \int g d μ .

(12.2.7)

对于最后一条，利用定义以及 ${\int h d μ ∣ h \in S_{+} and h \leq f} \subseteq {\int h d μ ∣ h \in S_{+} and h \leq g}$ 可证。

2.3 扩充实值函数的积分

定义 12.8 （积分）

设 $(X, A, μ)$ 为测度空间，对于 $X$ 上取值于 $[- \infty, + \infty]$ 的 $A$ -可测函数，若 $\int f^{+} d μ$ 和 $\int f^{-} d μ$ 均有限，则称 $f$ 为 $μ$ -可积的（ $μ$ -integrable）或可和的（summable），其Lebesgue积分定义为

\int f d μ = \int f^{+} d μ - \int f^{-} d μ .

(12.2.8)

若 $\int f^{+} d μ$ 和 $\int f^{-} d μ$ 至少一个有限，则称 $f$ 的极限存在（exist）；在这种情况下， $\int f d μ$ 的定义不变。对于以上两种情况，有时用 $\int f (x) μ (d x)$ 或 $\int f (x) d μ (x)$ 的写法代替 $\int f d μ$ 。特别地，对于 $X = R^{d}$ 且 $μ = λ$ 的情形，通常称上述积分为Lebesgue积分（Lebesgue integral），将其记为 $\int f (x) d x$ ；区间 $[a, b]$ 上的积分常用 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 表示。若要强调Lebesgue积分，则用 $(L) \int_{a}^{b} f (x) d x$ 表示。

注

设 $f : X \to [- \infty, + \infty]$ 是 $A$ -可测的， $A \in A$ 。若函数 $f χ_{A}$ 是可积的，则称 $f$ 在 $A$ 上可积（integrable over $A$ ），将积分 $\int_{A} f d μ$ 定义为 $\int f χ_{A} d μ$ 。一般地，在 $μ (A^{c}) = 0$ 的情形中，常用 $\int f d μ$ 代替 $\int_{A} f d μ$ ，并称 $f$ 是可积的。

为了证明形式上类似命题 12.14和命题 12.15的结论，我们首先需要一个引理。

引理 12.1

设 $(X, A, μ)$ 为测度空间， $f_{1}, f_{2}$ 和 $g_{1}, g_{2}$ 为 $X$ 上满足 $f_{1} - f_{2} = g_{1} - g_{2}$ 的非负实值可积函数，则 $\int f_{1} d μ - \int f_{2} d μ = \int g_{1} d μ - \int g_{2} d μ$ 。

证明

根据条件， $f_{1} + g_{2} = f_{2} + (f_{1} - f_{2}) + g_{2} = f_{2} + (g_{1} - g_{2}) + g_{2} = f_{2} + g_{1}$ ；那么根据命题 12.15，

\int f_{1} d μ + \int g_{2} d μ = \int f_{2} d μ + \int g_{1} d μ ⟹ \int f_{1} d μ - \int f_{2} d μ = \int g_{1} d μ - \int g_{2} d μ .

(12.2.9)

命题 12.16

设 $(X, A, μ)$ 为测度空间， $f$ 和 $g$ 为 $X$ 上的实值可积函数， $α$ 为实数，则

$α f$ 和 $f + g$ 可积；
$\int α f d μ = α \int f d μ$ ；
$\int (f + g) d μ = \int f d μ + \int g d μ$ ；
若 $f (x) \leq g (x)$ 对 $X$ 中每个点成立，则 $\int f d μ \leq \int g d μ$ 。

证明

设 $f$ 的正部与负部分别为 $f^{+}$ 和 $f^{-}$ ，因此当 $α = 0$ 时，显然 $\int α f d μ = α \int f d μ$ 成立；若 $α > 0$ ，则根据命题 12.15， $\int (α f)^{+} d μ = \int α f^{+} d μ = α \int f^{+} d μ < + \infty$ ，类似地 $\int (α f)^{-} d μ = α \int f^{-} d μ < + \infty$ ，因此 $α f$ 可积，且 $\int α f d μ = α (\int f^{+} d μ - \int f^{-} d μ) = α \int f d μ$ ；若 $α < 0$ ，利用 $α = - (- α)$ 类似可证。由于 $(f + g)^{+} (x) = max {f (x) + g (x), 0} = [(f (x) + g (x)) + ∣ f (x) + g (x) ∣] /2 \leq [(f (x) + g (x)) + (∣ f (x) ∣ + ∣ g (x) ∣)] /2 = max {f (x), 0} + max {g (x), 0} = f^{+} (x) + g^{+} (x)$ 对所有 $x \in X$ 成立，因此 $(f + g)^{+} \leq f^{+} + g^{+}$ ，类似地 $(f + g)^{-} \leq f^{-} + g^{-}$ 。根据命题 12.15， $\int (f + g)^{+} d μ \leq \int (f^{+} + g^{+}) d μ = \int f^{+} d μ + \int g^{+} d μ < + \infty$ ，类似地 $\int (f + g)^{-} d μ < + \infty$ ，因此 $f + g$ 可积。注意到 $(f + g)^{+} - (f + g)^{-} = f + g = (f^{+} - f^{-}) + (g^{+} - g^{-}) = (f^{+} + g^{+}) - (f^{-} + g^{-})$ ，根据引理 12.1，

\int (f + g) d μ = \int (f^{+} + g^{+}) d μ - \int (f^{-} + g^{-}) d μ = \int f^{+} d μ + \int g^{+} d μ - \int f^{-} d μ - \int g^{-} d μ = \int f d μ - \int g d μ .

(12.2.10)

若 $f (x) \leq g (x)$ 对 $X$ 中的每个 $x$ 成立，那么根据性质1， $g - f = g + (- 1) f$ 是非负可积函数，因此 $\int (g - f) d μ = \int (g - f)^{+} d μ \geq 0$ ；再利用性质3， $\int g d μ = \int [f + (g - f)] d μ = \int f d μ + \int (g - f) d μ \geq \int f d μ$ 。

例 12.2

若 $μ$ 是有限测度，则 $(X, A, μ)$ 上的每个有界可测函数都是可积的。这是因为此时存在 $M > 0$ 使得 $∣ f (x) ∣ < M$ ，即 $f^{+} (x), f^{-} (x) < M$ 对所有 $x \in X$ 成立。那么根据命题 12.15， $\int f^{+} d μ \leq \int M d μ = M μ (X) < + \infty$ ，类似地 $\int f^{-} d μ < + \infty$ ，因此 $f$ 可积；
特别地，每个 $[a, b]$ 上的有界Borel函数是Lebesgue可积的，进而每个连续函数都是Lebesgue可积的。这是因为此时存在 $M > 0$ 使得有界Borel函数 $f$ 满足 $∣ f (x) ∣ < M$ ，即 $f^{+} (x), f^{-} (x) < M$ 对所有 $x \in X$ 成立；并且对于任意满足 $g \leq f^{+}$ 的简单函数 $g$ ， $\int g d λ < M λ ([a, b]) = M (b - a) < + \infty$ 。因此 $\int f^{+} d λ = sup {\int g d λ ∣ g \in S^{+} and g \leq f^{+}} \leq M (b - a) < + \infty$ ，类似地 $\int f^{-} d λ < + \infty$ ，从而 $f$ 可积；
设 $A$ 是 $N$ 上所有 $N$ 的子集构成的 $σ$ -代数， $μ$ 是 $A$ 上的计数测度（参见例例 11.2），则 $N$ 上的非负函数 $f$ 是 $μ$ -可积的当且仅当无穷级数 $\sum_{n} f (n)$ 收敛。这是因为 $N$ 上的非负函数 $f$ 可表示为 $f = \sum_{n} f (n) χ_{{n}}$ ，而定义为 $f_{k} (n) = \sum_{k = 1}^{n} f (k) χ_{{k}}$ 的简单函数列 $(f_{n})$ 非减，并且 $f = lim_{n} f_{n}$ 。根据命题 12.14， $\int f d μ = lim_{n} \int f_{n} d μ = lim_{n} \sum_{k = 1}^{n} f (k) = \sum_{n} f (n)$ 。可见对于非负函数 $f$ ，由于 $f = f^{+}$ ， $f$ 可积当且仅当 $\int f d μ < + \infty$ ，即当且仅当 $\sum_{n} f (n) < + \infty$ 。一般地，定义在 $N$ 上的函数 $f$ 可积当且仅当 $\sum_{n} f (n)$ 绝对收敛；
几乎处处为零的简单可测函数是可积的，其积分为0。对于几乎处处为零的任意可测函数 $f$ ，设其正部和负部分别为 $f^{+}$ 和 $f^{-}$ 。根据命题 12.2，对于测度空间 $(X, A, μ)$ ， $A = {x \in X ∣ f (x) > 0} \in A$ 。现在定义函数 $g$ ：若 $x \in / A$ ，那么 $g (x) = 0$ ，否则 $g (x) = + \infty$ 。定义函数列 $(g_{n})$ 为 $g_{n} (x) = n χ_{A}$ ，那么 $g = lim_{n} g_{n}$ 且 $f^{+} \leq g$ 。根据命题 12.14和命题 12.15， $\int f^{+} d μ \leq \int g d μ = lim_{n} \int g_{n} d μ = lim_{n} n μ (A) = 0$ ；而命题 12.15同时表明 $\int f^{+} d μ \geq 0$ ，因此 $\int f^{+} d μ = 0$ ；类似地 $\int f^{-} d μ$ ，从而 $\int f d μ = 0$ 。对于反向结论，可参见推论 12.3。

2.4 积分的基本性质

命题 12.17

设 $(X, A, μ)$ 为测度空间， $f$ 是 $X$ 上取值于 $[- \infty, + \infty]$ 的 $A$ -可测函数，那么 $f$ 可积当且仅当 $∣ f ∣$ 可积。若 $f$ 或 $∣ f ∣$ 可积，则 $\int f d μ \leq \int ∣ f ∣ d μ$ 。

证明

$f$ 可积当且仅当 $f^{+}$ 和 $f^{-}$ 可积，根据命题 12.15， $f$ 可积时 $\int ∣ f ∣ d μ = \int f^{+} d μ + \int f^{-} d μ < + \infty$ ，即 $∣ f ∣$ 可积；反之若 $∣ f ∣$ 可积，根据命题 12.15， $\int f^{+} d μ \leq \int ∣ f ∣ d μ < + \infty$ ，类似地 $\int f^{-} d μ < + \infty$ ，从而 $f$ 可积。此时

\int f d μ = \int f^{+} d μ - \int f^{-} d μ \leq \int f^{+} d μ + \int f^{-} d μ = \int (f^{+} + f^{-}) d μ = \int ∣ f ∣ d μ .

(12.2.11)

注

需要注意的是，该结论对于不可测函数不成立；换言之，存在不可积但绝对可积的不可测函数。考虑从 $R$ 到 $R$ 的函数 $f = χ_{E} - χ_{[0, 1] \ E}$ ，其中 $E$ 为定理 11.2中构造的非Lebesgue可测集。假设 $f$ 是Lebesgue可测的，根据命题 12.2， $E = {x \in [0, 1] ∣ f (x) = 1} \in M_{λ^{*}}$ ，矛盾。因此 $f$ 不是Lebesgue可测的；但是 $∣ f ∣ = χ_{E} + χ_{[0, 1] \ E} = χ_{[0, 1]}$ 是Lebesgue可积的。

命题 12.18

设 $(X, A, μ)$ 为测度空间， $f$ 和 $g$ 为 $X$ 上取值于 $[- \infty, + \infty]$ 且几乎处处相同的 $A$ -可测函数。若 $\int f d μ$ 或 $\int g d μ$ 存在，则两者均存在，且 $\int f d μ = \int g d μ$ 。

证明

首先考虑 $f$ 和 $g$ 均非负的情形。根据命题 12.2， $A = {x \in X ∣ f (x) \neq = g (x)} \in A$ ，那么 $μ (A) = 0$ 。定义函数

h (x) = {+ \infty, 0, if x \in A, if x \in / A

(12.2.12)

以及非减函数列 $(h_{n})$ ，其中 $h_{n} = n χ_{A}$ 对每个 $n \in N$ 成立，则 $h = lim_{n} h_{n}$ 。根据命题 12.15， $\int h d μ = lim_{n} \int h_{n} d μ = lim_{n} n μ (A) = 0$ 。因此结合命题 12.14， $\int f d μ \leq \int (g + h) d μ = \int g d μ + \int h d μ = \int g d μ$ ；对称地 $\int g d μ \leq \int f d μ$ ，从而 $\int f d μ = \int g d μ$ 。对于任意 $f$ 和 $g$ ， $f^{+}$ 和 $g^{+}$ 、 $f^{-}$ 和 $g^{-}$ 在 $A^{c}$ 上相同，因此积分相等，进而 $\int f d μ = \int g d μ$ 。

命题 12.19

设 $(X, A, μ)$ 为测度空间， $f$ 为 $X$ 上取值于 $[0, + \infty]$ 的 $A$ -可测函数。若 $t$ 是正实数， $A_{t} = {x \in X ∣ f (x) \geq t}$ ，则 $μ (A_{t}) \leq t^{- 1} \int_{A_{t}} f d μ \leq t^{- 1} \int f d μ$ 。

证明

利用 $0 \leq t χ_{A_{t}} \leq f χ_{A_{t}} \leq f$ 的关系，根据命题 12.15， $t μ (A_{t}) \leq \int_{A_{t}} f d μ \leq \int f d μ$ 。

推论 12.2

设 $(X, A, μ)$ 为测度空间， $f$ 是 $X$ 上取值于 $[- \infty, + \infty]$ 的可积函数，则 ${x \in X ∣ f (x) \neq = 0}$ 在 $μ$ 下 $σ$ -有限。

证明

设 $A_{n} = {x \in X ∣ ∣ f (x) ∣ \geq 1/ n}$ ，则根据命题 12.17和命题 12.19， $μ (A_{n}) \leq n \int ∣ f ∣ d μ < + \infty$ 。另外，容易验证 $\cup_{n} A_{n} = {x \in A ∣ ∣ f (x) ∣ > 0} = {x \in A ∣ ∣ f (x) ∣ \neq = 0}$ ，因此结论得证。

推论 12.3

设 $(X, A, μ)$ 为测度空间， $f$ 是 $X$ 上取值于 $[- \infty, + \infty]$ 且满足 $\int ∣ f ∣ d μ = 0$ 的 $A$ -可测函数，那么 $f$ 是 $μ$ -几乎处处为零的。

证明

类似推论 12.2的证明，此时 $μ (A_{n}) \leq n \int ∣ f ∣ d μ = 0$ 即 $μ (A_{n}) = 0$ 对每个正整数 $n$ 成立。根据命题 11.7， $μ ({x \in X ∣ f (x) \neq = 0}) = μ ({x \in X ∣ ∣ f (x) ∣}) = μ (\cup_{n} A_{n}) = lim_{n} μ (A_{n}) = 0$ 。

推论 12.4

设 $(X, A, μ)$ 为测度空间， $f$ 为 $X$ 上取值于 $[- \infty, + \infty]$ 且使得 $\int_{A} f d μ \geq 0$ 对所有 $A \in A$ 成立的可积函数，则 $f \geq 0$ 是 $μ$ -几乎处处成立的。

证明

设 $A = {x \in X ∣ f (x) < 0} \in A$ ，则 $\int f χ_{A} d μ = \int_{A} f d μ \leq 0$ 。根据条件， $\int f χ_{A} d μ = 0$ ；而推论 12.3表明 $f χ_{A}$ 几乎处处为零，即 $B = {x \in X ∣ (f χ_{A}) (x) \neq = 0} \in A$ 的测度为0。又因为 $A \subseteq B$ ，故 $μ (A) = 0$ ，即 $f \geq 0$ 是 $μ$ -几乎处处成立的。

推论 12.5

设 $(X, A, μ)$ 为测度空间， $f$ 是 $X$ 上取值于 $[- \infty, + \infty]$ 的可积函数，则 $∣ f (x) ∣ < + \infty$ 对于 $X$ 中几乎每个 $x$ 成立。

证明

设 $A_{n} = {x \in A ∣ ∣ f (x) ∣ = n}$ ，根据命题 12.17和命题 12.19， $μ (A_{n}) \leq n^{- 1} \int ∣ f ∣ d μ < + \infty$ 。利用极限的单调性（定理 1.15）， $0 \leq lim_{n} μ (A_{n}) \leq 0$ ，因此 $lim_{n} μ (A_{n}) = 0$ 。根据命题 11.7， $μ ({x \in X ∣ ∣ f (x) ∣ = + \infty}) = μ (\cup_{n} A_{n}) = lim_{n} μ (A_{n}) = 0$ 。

2.5 复值函数

定义 12.9 （复值函数可积性）

设 $(X, A, μ)$ 为测度空间，若 $X$ 上复值函数 $f$ 的实部 $R (f)$ 和 $I (f)$ 分别可积，则称 $f$ 可积（integrable）; 若 $f$ 可积，则其积分定义为 $\int f d μ = \int R (f) d μ + i \int I (f) d μ$ 。

类似命题 12.16，我们有如下结论。

命题 12.20

设 $(X, A, μ)$ 为测度空间， $f$ 和 $g$ 为 $X$ 上的复制可积函数， $α$ 为复数，则

$α f$ 和 $f + g$ 可积；
$α f d μ = α \int f d μ$ ；
$\int (f + g) d μ = \int f d μ + \int g d μ$ 。

证明

设 $f$ 的实部和虚部分别为 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ ， $α$ 的实部和虚部分别为 $α_{1}$ 和 $α_{2}$ 。根据命题 12.16， $\int R (α f) d μ = \int (α_{1} f_{1} - α_{2} f_{2}) d μ = α_{1} \int f_{1} d μ - α_{2} \int f_{2} d μ < + \infty$ ；类似地 $\int I (α f) d μ < + \infty$ ，因此 $α f$ 可积，此时

\int α f d μ = (α_{1} \int f_{1} d μ - α_{2} \int g_{2} d μ) + (α_{1} \int f_{2} d μ + α_{2} \int f_{1} d μ) = (α_{1} + i α_{2}) (\int f_{1} d μ + i \int f_{2} d μ) = α \int f d μ .

(12.2.13)

设 $g$ 的实部和虚部分别为 $g_{1}$ 和 $g_{2}$ ，根据命题 12.16， $\int R (f + g) d μ = \int (f_{1} + g_{1}) d μ = \int f_{1} d μ + \int g_{1} d μ < + \infty$ ；类似地 $\int I (f + g) d μ < + \infty$ ，因此 $f + g$ 可积，此时容易证明 $\int (f + g) d μ = \int f d μ + \int g d μ$ 。

对于复值可积函数，也有类似命题 12.17控制收敛的结论。

命题 12.21

设 $(X, A, μ)$ 为测度空间， $f$ 为 $X$ 上关于 $A$ 和 $B (C)$ 可测³的复值函数，那么 $f$ 可积当且仅当 $∣ f ∣$ 可积。若 $f$ 或 $∣ f ∣$ 可积，则 $\int f d μ \leq \int ∣ f ∣ d μ$ 。

证明

由于复数的模运算与 $R^{2}$ 中内积诱导的范数具有相同的形式，故函数 $g : R^{2} \to C, (x, y) \mapsto x + i y$ 是从 $R^{2}$ 到 $C$ 的同胚。那么 $f$ 关于 $A$ 和 $C$ 的可测性等价于 $f$ 关于 $A$ 和 $R^{2}$ 的可测性。为了书写简便，后续证明将 $f$ 视为 $R^{2}$ 上的函数⁴。这意味着对于任意形如 $B_{n} = (- \infty, b] \times (- \infty, n]$ 的闭半空间， $f^{- 1} (B_{n}) \in A$ ，其中 $b \in R$ 且 $n \in N$ 。因此 ${x \in X ∣ R (f) (x) \leq b} = \cup_{n} f^{- 1} (B_{n}) \in A$ ，即 $R (f)$ 是 $A$ 可测的；类似地 $I (f)$ 也是 $A$ -可测的。现在利用有理数的稠密性（定理 1.8），对于任意正实数 $t \in R$ ， ${x \in X ∣ ∣ f (x) ∣ < t}$ 可表示为

r \in Q ⋃ ({x \in X - r < R (f) (x) < r} \cap {x \in X - t^{2} - r^{2} < I (f) (x) < t^{2} - r^{2}}) \in A,

(12.2.14)

其中允许任意集合为空集，并集属于 $A$ 利用了 $Q$ 的可数性（命题 1.7）；对于任意 $t \leq 0$ ， ${x \in X ∣ ∣ f (x) ∣ < t} = \emptyset \in A$ 。因此 $∣ f ∣$ 也是 $A$ -可测的。若 $f$ 可积，则根据命题 12.17， $∣ R (f) ∣$ 和 $∣ I (f) ∣$ 均可积；再利用命题 12.16， $\int ∣ f ∣ d μ \leq \int (∣ R (f) ∣ + ∣ I (f) ∣) d μ = \int ∣ R (f) ∣ d μ + \int ∣ I (f) ∣ d μ < + \infty$ ，从而 $∣ f ∣$ 可积。反之若 $∣ f ∣$ 可积，则根据命题 12.16， $\int ∣ R (f) ∣ d μ, \int ∣ I (f) ∣ d μ \leq \int ∣ f ∣ d μ < + \infty$ ；根据命题 12.17， $R (f)$ 和 $I (f)$ 均可积，进而 $f$ 可积。当 $f$ 和 $∣ f ∣$ 可积时，记 $w = \int f d μ / \int f d μ \in C$ ，那么根据命题 12.16和命题 12.20，

\int f d μ = w^{- 1} \int f d μ = \int (w^{- 1} f) d μ \leq \int w^{- 1} f d μ = \int ∣ f ∣ d μ .

(12.2.15)

12.3极限定理

这一节内容主要用于对积分的一些特征进行更细致的刻画，与纠缠理论不甚相关；并且这些结论与《数学分析》课程中学习的关于Riemann积分的结论大体一致。有鉴于此，读者可根据自身能力与需求阅读本节。

定理 12.1 （单调收敛定理）

设 $(X, A, μ)$ 为测度空间， $f$ 和 $f_{1}, f_{2}, \dots$ 是 $X$ 上取值于 $[0, + \infty]$ 的 $A$ -可测函数，若

f_{1} (x) \leq f_{2} (x) \leq \dots and f (x) = n lim f_{n} (x)

(12.3.1)

在 $X$ 中几乎每个 $x$ 点成立，则 $\int f d μ = lim_{n} \int f_{n} d μ$ 。

证明

首先假定(12.3.1)式对每个 $x \in X$ 成立，那么仿照命题 12.13的证明，可知 $lim_{n} \int f_{n} d μ \leq \int f d μ$ ；对于反向不等式，根据命题 12.8，对每个 $n \in N$ 可选择取值于 $[0, + \infty)$ 的可测非减简单函数列 $(g_{n, k})$ ，使得 $f_{n} = lim_{k} g_{n, k}$ 。定义函数 $h_{n} = max {g_{1, n}, \dots, g_{n, n}}$ ，那么 $(h_{n})$ 是取值于 $[0, + \infty)$ 的非零简单函数列，并且 $h_{n} \leq f_{n}$ ，否则存在 $g_{k, n} (x) > f_{n} (x) \geq f_{k} (x)$ ，使得 $lim_{n} g_{k, n} (x) = f_{k} (x)$ 不成立。此外，

∣ h_{n} (x) - f (x) ∣ = f (x) - max {g_{1, n}, \dots, g_{n, n}} \leq f (x) - g_{k, n} (x) for each k = 1, \dots, n .

(12.3.2)

对于任意正数 $ϵ$ ，存在自然数 $n_{1}$ 和 $n_{2}$ ，分别使得 $∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ < ϵ /2$ 对所有 $n \geq n_{1}$ 成立、 $∣ f_{k} (x) - g_{k, n} (x) ∣ < ϵ /2$ 对所有 $n \geq n_{2}$ 成立。因此在(12.3.2)式中取 $k = n$ ，则存在自然数 $n_{0} = max {n_{1}, n_{2}}$ ，使得

∣ h_{n} (x) - f (x) ∣ \leq ∣ f (x) - g_{n, n} (x) ∣ \leq ∣ f (x) - f_{n} (x) ∣ + ∣ f_{n} (x) - g_{n, n} (x) ∣ < ϵ /2 + ϵ /2 = ϵ

(12.3.3)

对所有 $n \geq n_{0}$ 成立，即 $lim_{n} h_{n} = f$ 。根据命题 12.14和命题 12.15以及收敛的单调性（定理 1.15）， $\int f d μ = lim_{n} \int h_{n} d μ \leq lim_{n} \int f_{n} d μ$ 。现在设 $N \in A$ 包含使得(12.3.1)式中至少一个条件不成立的所有点，同时满足 $μ (N) = 0$ 。那么 $f χ_{N^{c}}$ 和函数列 $(f_{n} χ_{N^{c}})$ 满足前述条件，故 $\int_{N^{c}} f d μ = \int (f χ_{N^{c}}) d μ = lim_{n} \int (f_{n} χ_{N^{c}}) d μ = lim_{n} \int_{N^{c}} f_{n} d μ$ 。由于 $f$ 与 $f χ_{N^{c}}$ 、 $f_{n}$ 与 $f_{n} χ_{N^{c}}$ 几乎处处相等，根据命题 12.18， $\int f d μ = lim_{n} \int f_{n} d μ$ 。

注

该结论是命题 12.13的推广，将其中 $f$ 和 $(f_{n})$ 均简单可测的条件放宽到取值于 $[0, + \infty]$ 且可测；值得注意的是，该定理中函数 $f$ 以及函数列 $(f_{n})$ 只假定非负且可测，并不要求其可积。

推论 12.6 （Beppo Levi定理）

设 $(X, A, μ)$ 为测度空间， $\sum_{k = 1}^{\infty}$ 是无穷级数，其各项为 $X$ 上取值于 $[0, + \infty]$ 的 $A$ -可测函数，则

\int k = 1 \sum \infty f_{k} d μ = k = 1 \sum \infty \int f_{k} d μ .

(12.3.4)

证明

设函数 $f = \sum_{k = 1}^{\infty} f_{k}$ ，函数列 $(f_{n})$ 中每一项为 $f_{n} = \sum_{k = 1}^{\infty} f_{k}$ ，因此 $(f_{n})$ 非减且 $f = lim_{n} f_{n}$ 。利用单调收敛定理 12.1， $\int \sum_{k = 1}^{\infty} f_{k} d μ = \int f d μ = lim_{n} \int f_{n} d μ = lim_{n} \sum_{k = 1}^{n} \int f_{k} d μ = \sum_{k = 1}^{\infty} \int f_{k} d μ$ 。

例 12.3

上述推论可用于构造如下一类测度：设 $(X, A, μ)$ 为测度空间， $f : X \to [0, + \infty]$ ，定义函数 $ν : A \to [0, + \infty]$ 为 $ν (A) = \int_{A} f d μ$ ，则 $ν$ 是可测空间 $(X, A)$ 上的测度。这是因为对于不相交子集族 ${A_{n}} \subseteq A$ ， $ν (\cup_{n} A_{n}) = \int (f χ_{\cup_{n} A_{n}}) d μ = \int f (\sum_{n} χ_{A_{n}}) d μ = \sum_{n} ν (A_{n})$ 。该等式还表明， $ν$ 是有限测度当且仅当 $f$ 是 $μ$ -可积的。

下一结论常用于证明函数是可积的，或者提供积分值的上界。

定理 12.2 （Fatous引理）

设 $(X, A, μ)$ 为测度空间， $(f_{n})$ 为 $X$ 上取值于 $[0, + \infty]$ 的 $A$ -可测函数列，则

\int n lim inf f_{n} d μ \leq n lim inf \int f_{n} d μ .

(12.3.5)

证明

对于每个正整数 $n$ ，定义 $g_{n} = in f {f_{k} ∣ k \geq n}$ ，那么根据命题 12.4， $g_{n}$ 是非减且 $A$ -可测的。设 $g = lim inf_{n} f_{n} = lim_{n} g_{n}$ ，则根据单调收敛定理 12.1， $\int g d μ = lim_{n} \int g_{n} d μ$ 。另外，根据命题 12.15， $\int g_{n} d μ \leq \int f_{k} d μ$ 对所有 $k \geq n$ 成立，因此关于 $k$ 取下确界得 $\int g_{n} d μ \leq in f {\int f_{k} d μ ∣ k \geq n}$ 。最终得到 $\int lim inf_{n} f_{n} d μ \leq lim_{n} in f {\int f_{k} d μ ∣ k \geq n} = lim inf_{n} \int f_{n} d μ$ 。

定理 12.3 （Lebesgue控制收敛定理）

设 $(X, A, μ)$ 为测度空间， $g$ 为 $X$ 上取值于 $[0, + \infty]$ 的可积函数， $f$ 和 $f_{1}, f_{2}, \dots$ 为 $X$ 上取值于 $[- \infty, + \infty]$ 的 $A$ -可测函数，使得

f (x) = n lim f_{n} (x) and ∣ f_{n} (x) ∣ \leq g (x) for n = 1, 2, \dots

(12.3.6)

对 $X$ 中几乎每个 $x$ 成立，则 $f$ 和 $f_{1}, f_{2}, \dots$ 是可积的，并且 $\int f d μ = lim_{n} \int f_{n} d μ$ 。

证明

首先证明函数 $f$ 和函数列 $(f_{n})$ 的可积性。根据命题 12.15， $\int ∣ f_{n} ∣ d μ \leq \int g d μ < + \infty$ ；因此根据命题 12.17， $f_{n}$ 也是可积的。又因为 $∣ ∣ f_{n} ∣ - ∣ f ∣ ∣ \leq ∣ f_{n} - f ∣$ 对每个 $n \in N$ 成立，结合极限的单调性（定理 1.15）， $∣ f (x) ∣ = lim_{n} ∣ f_{n} (x) ∣ \leq g (x)$ 。再次利用命题 12.17，可证明 $f$ 可积。现在假定 $g (x) < + \infty$ 对 $X$ 中每个 $x$ 成立，那么根据命题 12.3， $(g + f_{n})$ 是非负 $A$ -可测函数列，极限的线性性（定理 1.15）要求 $lim_{n} (g + f_{n}) = g + lim_{n} f_{n} = f$ 。因此根据Fatou引理定理 12.2和命题 1.25，

\int (g + f) d μ = \int n lim (g + f_{n}) d μ = \int n lim inf (g + f_{n}) d μ \leq n lim inf \int (g + f_{n}) d μ,

(12.3.7)

因此 $\int f d μ \leq lim inf_{n} \int f_{n} d μ$ ；类似地， $\int (g - f) d μ \leq lim inf_{n} \int (g - f_{n}) d μ$ ，从而 $\int f d μ \geq lim sup_{n} \int f_{n} d μ$ 。根据命题 1.25， $lim inf_{n} \int f_{n} d μ = lim sup_{n} \int f_{n} d μ = \int f d μ$ 意味着 $(\int f_{n} d μ)$ 收敛到 $\int f d μ$ 。最后设 $N \in A$ 包含使得(12.3.6)式中至少一个条件不成立的所有点，同时满足 $μ (N) = 0$ 。类似单调收敛定理 12.1最后一段论述，可证明此时结论也成立。

若 $B \in A$ ，对于任意实数 $t$ ， ${x \in X ∣ χ_{B} (x) < t}$ 可能为 $\emptyset$ 、 $B^{c}$ 或 $X$ ，因此属于 $A$ ，即 $χ_{B}$ 是 $A$ -可测的；反之若 $χ_{B}$ 是 $A$ -可测的， $B^{c} = {x \in X ∣ χ_{B} (x) < 1} \in A$ ，因此 $B = (B^{c})^{c} \in A$ 。
对于充分性， ${x \in X ∣ f (x) = α_{i}} = {x \in X ∣ f (x) \leq α_{i}} \cap {x \in X ∣ f (x) \geq α_{i}} \in A$ ；反之对于必要性，考虑任意实数 $t$ ，记有限指标集 $I_{t} = {i ∣ α_{i} < t}$ ，那么 ${x \in X ∣ f (x) < t} = \cup_{i \in I_{t}} {x \in X ∣ f (x) = α_{i}} \in A$ ，因此 $f$ 可测。
对于一般拓扑空间上的Borel $σ$ -代数，我们将放在第第 13 章章介绍；这里我们先将 $B (C)$ 理解为所有复平面上的开集构成的集族。
尽管 $C$ 与 $R^{2}$ 上的函数存在解析性质上的差异，但就函数可测性而言，可以将两者视为等同（参见^[3]）。