同构定理 · 纠缠理论的数学基础

4.1商空间

1.1 基本概念

设 $S$ 为向量空间 $V$ 的一个子空间， $u$ 和 $v$ 为 $V$ 内的向量。容易验证，定义为 $u - v \in S$ 的二元关系 $u \equiv v$ 是一个等价关系。当 $u \equiv v$ 时，我们称 $u$ 和 $v$ 模 $S$ 同余（congruent modulo $S$ ）。术语“mod”是modulo的口语化表述， $u \equiv v$ 通常写为 $u \equiv v mod S$ 。当子空间在上下文明确时，我们简单将其写为 $u \equiv v$ 。为了看清等价类的结构，我们记

{u \in V ∣ u \equiv v} = {u \in V ∣ u - v \in S} = {v + s ∣ s \in S} = v + S,

(4.1.1)

因此集合 $v + S = {v + s ∣ s \in S}$ 称为 $V$ 在 $S$ 中的一个陪集（coset）， $v$ 称为 $(v + S)$ 的一个陪集代表元（coset representative）。 $V$ 中 $S$ 的所有陪集构成集合称为 $V$ 模 $S$ 的商空间（quotient space of $V$ modulo $S$ ），读作“ $V$ 模 $S$ ”，记作 $V / S = {v + S ∣ v \in V}$ 。当然，这里的术语“空间”提示我们将定义 $V / S$ 上向量空间的运算。一个自然的选择是

(u + S) + (v + S) = (u + v) + S, r (u + S) = (r u) + S .

(4.1.2)

不过仍需要检查这些运算是否良定义（well-defined），即运算结果是否与代表元的选择无关：若 $u_{1} + S = u_{2} + S, v_{1} + S = v_{2} + S$ ，我们希望 $(u_{1} + v_{1}) + S = (u_{2} + v_{2}) + S$ 且 $(r u_{1}) + S = (r u_{2}) + S$ 。根据条件， $u_{1} - u_{2} \in S$ 且 $v_{1} - v_{2} \in S$ ，因此

(u_{1} + v_{1}) + S = (u_{2} + v_{2}) + (u_{1} - u_{2}) + (v_{1} - v_{2}) + S = (u_{2} - v_{2}) + S,

(4.1.3)

(r u_{1}) + S = (r u_{2}) + r (u_{1} - u_{2}) + S = (r u_{2}) + S .

(4.1.4)

可见加法和标量乘法是良定义的，以上结果也可以用等价关系 $\equiv$ 更简洁地表述为

$u_{1} \equiv u_{2}, v_{1} \equiv v_{2} \Rightarrow (u_{1} + v_{1}) \equiv (u_{2} + v_{2})$ ；
$u_{1} \equiv u_{2} \Rightarrow r u_{1} \equiv r u_{2}$ 。

这一结果在代数中会反复出现。在一个代数结构上（例如群、环、向量空间），若一个等价关系保持代数运算，则称其为同余关系（congurence relation）。

定理 4.1 （商空间）

设 $S$ 为 $V$ 的子空间，二元关系 $u \equiv v \Leftrightarrow u - v \in S$ 为 $V$ 上的等价关系，其等价类为陪集 $v + S = {v + s ∣ s \in S}$ 。 $V$ 中 $S$ 的所有陪集构成的集合 $V / S$ 称为 $V$ 模 $S$ 的商空间，其自身构成一个向量空间，包含良定义的运算：

(u + S) + (v + S) = (u + v) + S, r (u + S) = r u + S .

(4.1.5)

$V / S$ 的零向量为陪集 $0 + S = S$ 。

1.2 自然投影与对应定理

若 $S$ 为 $V$ 的一个子空间，则可以定义将每个向量嵌入包含其陪集的映射 $π_{S} : V \to V / S, v \mapsto v + S$ 。该映射称为从 $V$ 到 $V / S$ 的典范/自然投影（canonical/natural projection），或者简单称为模 $S$ 的投影（projection modulo $S$ ）。注意这里“投影”并非上一章中“投影算子”的“投影”含义。

定理 4.2 （典范投影）

典范投影 $π_{S} : V \to V / S$ 定义为 $π_{S} (v) = v + S$ ，该投影为满射线性变换，其核为 $ker (π_{S}) = S$ 。

证明

容易证明 $π_{S}$ 是满射。对于任意 $u, v \in V$ 和 $r, s \in F$ ，

π_{S} (r u + s v) = (r u + s v) + S = (r u + S) + (s v + S) = r (u + S) + s (v + S) = r π_{S} (u) + s π_{S} (v),

(4.1.6)

因此 $π_{S}$ 为线性变换，最后

ker (π_{S}) = {v \in V ∣ v + S = S} = {v \in V ∣ v \in S} = S .

(4.1.7)

4.2商空间的泛性质与第一同构定理

设 $S$ 为 $V$ 的子空间，那么 $(V / S, π_{S})$ 具有一个常称为泛性质（university）¹的特殊性质，具体如下。

定理 4.3

设 $S$ 为 $V$ 的一个子空间， $τ \in L (V, W)$ 满足 $S \subseteq ker (τ)$ ，则存在唯一线性变换 $τ^{'} : V / S \to W$ ，使得 $τ^{'} \circ π_{S} = τ$ 。在这种情况下， $ker (τ^{'}) = ker (τ) / S$ 且 $im (τ^{'}) = im (τ)$ 。

证明

若希望构造映射 $τ^{'} : V / S \to W$ ，首先要求同余关系的等价类的像与该等价类的代表元选取无关；换言之，若 $u \equiv v mod S$ ，则希望 $τ^{'} (u + S) = τ^{'} (v + S)$ 。对于线性变换，该式等价于

0 = τ^{'} (u + S) - τ^{'} (v + S) = τ^{'} (u - v + S) = τ^{'} \circ π_{S} (u - v) = τ (u - v) \Leftrightarrow u - v \in ker (τ) .

(4.2.1)

因此当 $S \subseteq ker (τ)$ 时，上式显然满足，此时 $τ^{'}$ 良定义，并且

im (τ^{'}) = {τ^{'} (v + S) ∣ v + S \in V / S} = {τ (v) ∣ v \in V} = im (τ),

(4.2.2)

ker (τ^{'}) = {v + S ∣ τ^{'} (v + S) = 0} = {v + S ∣ τ (v) = 0} = ker (τ) / S .

(4.2.3)

由于 $τ^{'}$ 在 $V$ 内每个向量上的取值完全由 $τ$ 确定，故 $τ^{'}$ 唯一。

上述定理具有一个非常重要的推论，称为第一同构定理（first isomorphism theorem）。

定理 4.4 （第一同构定理）

设 $τ : V \to W$ 为线性变换，则线性变换

τ^{'} : V / ker (τ) \to W defined by τ^{'} (v + ker (τ)) = τ (v)

(4.2.4)

为单射，并且 $V / ker (τ) ≅ im (τ)$ 。

证明

在定理 4.3中取 $S = ker (τ)$ ，那么存在唯一线性变换 $τ^{'} : V / ker (τ) \to W$ 使得 $τ^{'} \circ π_{S} = τ$ ，其将 $v + ker (τ)$ 映射到 $τ (v)$ 。因此 $ker (τ^{'}) = ker (τ) / ker (τ) = ker (τ)$ 为 $V / ker (τ)$ 中的零向量。根据命题 3.2， $τ^{'}$ 为单射，并且 $im (τ^{'}) = im (τ)$ 意味着 $τ^{'}$ 同时也是从 $V / ker (τ)$ 到 $im (τ)$ 的满射，因此 $V / ker (τ) ≅ im (τ)$ 。

根据第一同构定理，任何 $V$ 上的线性变换 $τ : V \to im (τ)$ 同构于 $V$ 上的一个商空间；反之， $V$ 的任意商空间 $V / S$ 是 $V$ 上典范投影 $π_{S}$ 的像。因此，在同构意义下，商空间等价于同态像。

推论 4.1

设 $S$ 为 $V$ 的一个子空间，则 $V$ 中 $S$ 的所有补空间同构于 $V / S$ ，进而彼此同构。

证明

设 $T$ 为 $S$ 的一个补空间，将第一同构定理 4.4应用于投影算子 $ρ_{S, T} : V \to S$ ，得到 $T ≅ V / S$ 。

推论 4.2

设 $S$ 为向量空间 $V$ 的一个子空间，则 $dim (V) = dim (S) + dim (V / S)$ 。

证明

对于 $V$ 的子空间 $S$ 的任意补空间 $T$ ，投影算子 $ρ_{S, T}$ 的核与像分别为 $T$ 和 $S$ 。根据秩-零化度定理 3.3， $dim (V) = dim (S) + dim (T)$ 。再利用推论 3.2和推论 4.1， $dim (T) = dim (V / S)$ ，从而结论得证。

注

需要注意的是，由于基数减法未定义，不能将上述结论写为 $dim (V / S) = dim (V) - dim (S)$ 。

根据此推论，我们引入一个可能会偶尔用到的概念。

定义 4.1 （余维数）

若 $S$ 是 $V$ 的一个子空间，则 $dim (V / S)$ 称为 $V$ 中 $S$ 的余维数（codimension），记作 $codim (S)$ 或 $codim_{V} (S)$ 。

另一方面，需要指出的是，商空间补空间的同构性可能并没有预期的那么好。

例 4.1

考虑 $F [x]$ 上的一组基 ${1, x, x^{2}, \dots}$ ，取

$A = ⟨ x, x^{2}, x^{3}, \dots ⟩, B = ⟨ 1 ⟩, C = ⟨ 1, x^{2}, x^{4}, \dots ⟩, D = ⟨ x, x^{3}, x^{5} ⟩ .$
(4.2.5)

定义映射 $f : A \to D$ ，使得 $f (x^{n + 1}) = x^{2 n} (n \in N)$ ，可证明 $f$ 为同构；但另一方面， $dim (B) = 1 \neq = ℵ_{0} = dim (D)$ 。这意味着此时 $A \oplus B = F [x] = C \oplus D$ 且 $A ≅ C$ ，但 $B \neq ≅ D$ ；
考虑 $F [x, y]$ 上的一组基 ${x^{m} y^{n}}_{m, n \in N}$ ，取

$S = ⟨ x, x^{2}, \dots ⟩, B = ⟨ 1 ⟩, D = ⟨ 1, y, y^{2}, \dots ⟩ .$
(4.2.6)

定义映射 $g : V \to W$ ，使得 $g (x^{n}) = {x^{(n - 1) /2}, y^{n /2 + 1}, if n is odd, if n is even,$ 可证明 $g$ 是同构；但另一方面， $dim (B) = 1 \neq = ℵ_{0} = dim (D)$ 。这意味着此时 $S \oplus B ≅ S \oplus D$ ，但 $B \neq ≅ D$ 。

4.3线性泛函与对偶基

3.3 线性泛函

定义 4.2

设 $V$ 为域 $F$ 上的向量空间。若线性变换 $f \in L (V, F)$ 取值于基域 $F$ ，则称其为 $V$ 上的线性泛函（linear functional），或者简称为泛函。 $V$ 上所有线性泛函构成的向量空间记为 $V^{*}$ ，称其为 $V$ 的代数对偶空间（algebraic dual space）。

注

此处术语“代数”是必要的，因为在第第 8.4 节节我们将介绍另一种对偶空间： 连续对偶空间；不过目前术语“对偶空间”仅仅指代数对偶空间。为了区别于其他类型的线性变换，常用小写意大利字母 $f, g, h$ 表示线性泛函。

例 4.2

由 $f (p (x)) = p (0)$ 定义的映射 $f : F [x] \to F$ 是一个线性泛函，称为0点取值泛函（evaluation at 0）；
记 $C [a, b]$ 为在 $[a, b] \subseteq R$ 上所有连续函数构成的线性空间，映射 $f : C [a, b] \to R$ 定义为

$f (α (x)) = \int_{a}^{b} α (x) d x,$
(4.3.1)

则 $f$ 是一个线性泛函，记作 $f \in C [a, b]^{*}$ 。

对于任意 $f \in V^{*}$ ，秩-零化度定理 3.3给出 $dim (ker (f)) + dim (im (f)) = dim (V)$ 。由于 $im (f) \subseteq F$ ，首先有 $0 \in im (F)$ ；若存在其他非零元 $r$ ，则 $⟨ r ⟩ = {r s ∣ s \in F} = F$ 。这意味着 $im (f) = {0}$ 或 $F$ ，即非零线性泛函是满射。

下面我们列举线性泛函其他的一些基本性质。

命题 4.1

对于 $V$ 中任意非零向量 $v \in V$ ，存在线性泛函 $f \in V^{*}$ 使得 $f (v) \neq = 0$ ；
向量 $v \in V$ 为零当且仅当 $f (v) = 0$ 对于任意 $f \in V^{*}$ 成立；
设 $f \in V^{*}$ ，若 $f (x) \neq = 0$ ，则 $V = ⟨ x ⟩ \oplus ker (f)$ ；
两个非零线性泛函 $f, g \in V^{*}$ 具有相同的核当且仅当存在非零标量 $λ$ ，使得 $f = λ g$ 。

证明

前两条性质是显然的。对于性质3，首先考虑 $u \in ⟨ x ⟩ \cap ker (f)$ ，那么存在 $r \in F$ ，使得 $u = r x$ ，从而对于任意线性泛函 $f \in V^{*}$ ， $0 = f u = f (r x) = r f (x)$ 。根据性质2，这要求 $x = 0$ ，因此 $⟨ x ⟩ \cap ker (f) = {0}$ 。 $⟨ x ⟩ \oplus ker (f) \subseteq V$ 是显然的；对于反向包含，对任意 $v \in V$ 定义 $r = f (v) / f (x)$ ，那么 $f (v - r x) = f (v) - r f (x) = 0$ ，即 $v = r x + (v - r x) \in ⟨ x ⟩ \oplus ker (f)$ ，因此 $V \subseteq ⟨ x ⟩ \oplus ker (f)$ 。对于性质4，必要性是显然的；对于充分性，在 $K = ker (f) = ker (g)$ 内， $f$ 与 $g$ 的取值相同。对于任意 $x \in / K$ ，根据性质3， $V = ⟨ x ⟩ \oplus K$ 。取 $λ = f (x) / g (x)$ ，则 $f ∣_{⟨ x ⟩} = λ g ∣_{⟨ x ⟩}$ 。可见 $f (x) = λ g (x)$ 对所有 $x \in V$ 成立。

3.4 对偶基

设 $V$ 为包含一组基 $B = {v_{i} ∣ i \in I}$ 的向量空间。对于每个指标 $i \in I$ ，我们可通过正交性条件

v_{i}^{*} (v_{j}) = δ_{i, j}, where δ_{i, j} = {1, 0, if i = j, if i \neq = j

(4.3.2)

定义一个线性泛函 $v_{i}^{*} \in V^{*}$ ，其中 $δ_{i, j}$ 为Kronecker $δ$ -函数（Kronecker delta function）。那么对于 $a_{i_{k}} \in F$ ，

0 = a_{i_{1}} v_{i_{1}}^{*} + \dots + a_{i_{n}} v_{i_{n}}^{*} ⟹ 0 = j = 1 \sum n a_{i_{j}} v_{i_{j}}^{*} (v_{i_{k}}) = a_{i_{k}}

(4.3.3)

对所有 $k = 1, \dots, n$ 成立，因此 $B^{*} = {v_{i}^{*} ∣ i \in I}$ 线性无关。

定理 4.5 （对偶基）

设 $V$ 为具有基 $B = {v_{i} ∣ i \in I}$ 的线性空间。

集合 $B^{*} = {v_{i}^{*} ∣ i \in I}$ 线性无关，其中 $v_{i}^{*}$ 按(4.3.2)式定义；
若 $V$ 是有限维的，则 $B^{*}$ 是 $V^{*}$ 的一组基，称为 $B$ 的对偶基（dual basis）。

证明

第一条结论已证明。对于任意 $f \in V^{*}$ ，设 $dim (V) = n$ ，我们有 $\sum_{j = 1}^{n} f (v_{j}) v_{j}^{*} (v_{i}) = f (v_{i})$ 。因此对于任意 $v \in V$ ，存在唯一一组 $r_{i} \in F$ ，使得 $v = \sum_{i = 1}^{n} r_{i} v_{i}$ ，进而

f (v) = i = 1 \sum n r_{i} f (v_{i}) = i = 1 \sum n r_{i} (j = 1 \sum n f (v_{j}) v_{j}^{*} (v_{i})) = j = 1 \sum n f (v_{j}) v_{j}^{*} (i = 1 \sum n r_{i} v_{i}) = j = 1 \sum n f (v_{j}) v_{j}^{*} (v),

(4.3.4)

即 $f = \sum_{j = 1}^{n} f (v_{j}) v_{j}^{*}$ 。因此 $V^{*} = ⟨ B^{*} ⟩$ ，根据定理 2.1， $B^{*}$ 是 $V^{*}$ 的基。

根据上述定理，若 $dim (V) < \infty$ ，则 $dim (V^{*}) = dim (V) < \infty$ ，这是因为对偶向量同样形成了 $V^{*}$ 的一组基。但对于无限维情形，情况要复杂得多。我们先给出一个直观的例子，最后不加证明地给出结论。

例 4.3

设 $V$ 为域 $F = Z_{2} = {0, 1}$ 上的一个无限维向量空间，其基为 $B$ 。由于线性组合是有限和，故 $V \subseteq P_{0} (B)$ 。根据定理 1.2， $dim (V) \leq ∣ P_{0} (B) ∣ = ∣ B ∣$ 。另一方面，由于每个 $f \in V^{*}$ 都可将每个 $v_{i} \in B$ 映射独立映射到0和1，因此 $dim (V^{*}) = ∣ P (B) ∣$ 。根据定理 1.2， $dim (V^{*}) > dim (V)$ 。

定理 4.6

设 $V$ 为向量空间，则 $dim (V) \leq dim (V^{*})$ ，等号成立当且仅当 $dim (V) < \infty$ 。

关于泛性质的严格定义，请参见附录第该章未收录章介绍