线性变换

3.1线性变换及其核与像

定义 3.1 （线性变换）

设 $V$ 和 $W$ 是定义在域 $F$ 上的向量空间，若对于任意 $r, s \in F$ 和向量 $u, v \in V$ ，函数 $τ : V \to W$ 满足

τ (r u + s v) = r τ (u) + s τ (v),

(3.1.1)

则称其为线性变换（linear transformation）；线性变换 $τ : V \to V$ 称为 $V$ 上的线性算子（linear operator）。所有从 $V$ 到 $W$ 的线性变换构成的集合记为¹ $L (V, W)$ ；所有 $V$ 上线性算子的集合记为 $L (V)$ 。

以下术语也经常被使用。

定义 3.2

同态（homomorphism）对应线性变换；
自同态（endomorphism）对应线性算子；
单同态（monomorphism）或嵌入（embedding）对应单射线性变换；
满同态（epimorphism）对应满射线性变换；
同构（isomorphism）对应双射线性变换；
自同构（automorphism）对应双射线性算子。

例 3.1

微分算符 $D : V \to V$ 是 $R$ 上所有无穷可微函数构成的向量空间 $V$ 上的线性算子；
设矩阵 $A \in M_{m, n} (F)$ ，函数 $τ_{A} : F^{n} \to F^{m}$ 定义为 $τ_{A} (v) = A v$ ，其中所有向量 $v$ 均写成列向量，那么 $τ_{A}$ 是从 $F^{n}$ 到 $F^{m}$ 的线性变换；
$n$ 维向量空间的坐标映射 $ϕ : V \to F^{n}$ 为从 $V$ 到 $F^{n}$ 的线性变换。

命题 3.1

集合 $L (V, W)$ 在普通的函数加法和函数关于 $F$ 上元素的标量乘法下构成一个向量空间；
若 $σ \in L (U, V), τ \in L (V, W)$ ，则复合（composition） $τ σ \in L (U, W)$ ；
若 $τ \in L (V, W)$ 为双射，则 $τ^{- 1} \in L (V, W)$ ；
向量空间 $L (V)$ 是一个代数²，其乘法为函数复合，单位映射 $ι \in L (V)$ 为乘法单位元，零映射 $0 \in L (V)$ 为加法单位元。

证明

根据定义容易验证该结论；
对于任意 $u, v \in U$ 和 $r, s \in F$ ，

$(τ σ) (r u + s v) = τ (σ (r u + s v)) = τ (r σ (u) + s σ (v)) = r τ (σ (u)) + s τ (σ (v)) = r (τ σ) (u) + s (τ σ) (v),$
(3.1.2)

因此 $τ σ \in L (U, W)$ ；
对于任意 $w_{1}, w_{2} \in W$ 和 $r, s \in F$ ，存在 $v_{1}, v_{2} \in V$ 使得 $w_{1} = τ (v_{1})$ 且 $w_{2} = τ (v_{2})$ ，因此

$τ^{- 1} (r w_{1} + s w_{2}) = τ^{- 1} (r τ (v_{1}) + s τ (v_{2})) = τ^{- 1} (τ (r v_{1} + s v_{2})) = r v_{1} + s v_{2} = r τ^{- 1} (w_{1}) + s τ^{- 1} (v_{2}),$
(3.1.3)

因此 $τ^{- 1} \in L (W, V)$ ；
根据代数的定义容易证明该结论。

定义线性变换最简单的方式之一是给定其在一组基上的值。下述定理说明，我们可以在基上任意赋值，并通过线性延拓得到整个定义域上唯一的线性变换。

定理 3.1

设 $V$ 和 $W$ 为向量空间， $B = {v_{i} ∣ i \in I}$ 为 $V$ 的一组基，则可以为所有 $v_{i} \in B$ 任意指定 $τ (v_{i}) \in W$ 的值，然后利用线性性将 $τ$ 的定义域延拓到 $V$ 上，即

τ (a_{1} v_{1} + \dots + a_{n} v_{n}) = a_{1} τ (v_{1}) + \dots + a_{n} τ (v_{n}) .

(3.1.4)

该过程唯一定义了一个线性变换；换言之，若 $τ, σ \in L (V, W)$ 对任意 $v_{i} \in B$ 满足 $τ (v_{i}) = σ (v_{i})$ ，则 $τ = σ$ 。

证明

根据命题 2.3，对于任意 $u, v \in V$ ，若 $u = v$ ，则两者具有相同的表示，即存在 $a_{i} \in F$ 使得 $u = v = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} v_{i}$ ，进而 $τ (u) = τ (v)$ ，即该线性延拓是良定义的。现在假设存在 $σ \in L (V, W)$ 使得 $τ (v_{i}) = σ (v_{i})$ 对所有 $i \in I$ 成立。那么对于任意 $v \in V$ ，存在 $a_{i} \in F$ 使得 $v = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} v_{i}$ ，进而

τ (v) = τ (i = 1 \sum n a_{i} v_{i}) = i = 1 \sum n a_{i} τ (v_{i}) = i = 1 \sum n a_{i} σ (v_{i}) = σ (i = 1 \sum n a_{i} v_{i}) = σ (v) .

(3.1.5)

利用 $v$ 的任意性， $τ = σ$ 。

注

若 $τ \in L (V, W)$ 且 $S$ 为 $V$ 的一个子空间，据此可验证 $τ$ 在 $S$ 上的限制 $τ ∣_{S}$ 为从 $S$ 到 $W$ 的线性变换。

定义 3.3 （线性变换的核与像）

设 $τ \in L (V, W)$ ，子空间 $ker (τ) = {v \in V ∣ τ (v) = 0}$ 与 $im (τ) = {τ (v) ∣ v \in V}$ 分别称为 $τ$ 的核（kernel）与像（image）。 $dim (ker (τ))$ 称为 $τ$ 的零化度（nullity），记作 $null (τ)$ ； $dim (im (τ))$ 称为 $τ$ 的秩³，记作 $rk (τ)$ 。

注

$ker (τ)$ 和 $im (τ)$ 分别为 $V$ 和 $W$ 的子空间这一结论，虽然出现在定义中，但容易验证。

命题 3.2

设 $τ \in L (V, W)$ ，则

$τ$ 为满射当且仅当 $im (τ) = W$ ；
$τ$ 为单射当且仅当 $ker (τ) = {0}$ 。

证明

结论1恰好与满射的定义相一致；对于结论2，任取 $u, v \in V$ ，那么 $τ (u) = τ (v) \Leftrightarrow τ (u - v) = 0 \Leftrightarrow u - v \in ker (τ)$ 。因此若 $ker (τ) = {0}$ ，则 $u = v$ ，即 $τ$ 为单射；若 $τ$ 为单射，则对于任意 $v \in ker (τ)$ ， $τ (v) = 0 = τ (0)$ ，因此 $v = 0$ ，即 $ker (τ) = {0}$ 。

3.2同构与秩-零化度定理

定义 3.4 （同构）

双射线性变换 $τ : V \to W$ 称为从 $V$ 到 $W$ 的同构（isomorphism）。当从 $V$ 到 $W$ 的同构存在时，我们称 $V$ 与 $W$ 同构，记作 $V ≅ W$ 。

例 3.2

设 $dim (V) = n$ ，则对于 $V$ 中任意有序基 $B$ ，坐标映射 $ϕ_{B} : V \to F^{n}$ 将每个 $V$ 中的向量映射到其坐标矩阵 $[v]_{B} \in F^{n}$ ，从而 $ϕ_{B}$ 为同构。因此， $F$ 上任意 $n$ 维向量空间同构于 $F^{n}$ 。

正如以下命题所示，同构向量空间具有许多共同的性质。若 $τ \in L (V, W)$ 且 $S \subseteq V$ ，则 $τ (S) = {τ (s) ∣ s \in S}$ 。

命题 3.3

设 $τ \in L (V, W)$ 为同构， $S \subseteq V$ ，则

$S$ 张成 $V$ 当且仅当 $τ (S)$ 张成 $W$ ；
$S$ 在 $V$ 中线性无关当且仅当 $τ (S)$ 在 $W$ 中线性无关；
$S$ 是 $V$ 的基当且仅当 $τ (S)$ 是 $W$ 的基。

上述结果请自行验证，据此我们直接得到如下结论。

推论 3.1

线性变换 $τ \in L (V, W)$ 是同构当且仅当存在 $V$ 的一组基 $B$ ，使得 $τ (B)$ 是 $W$ 的一组基。在这种情况下， $τ$ 将 $V$ 中任意基映射到 $W$ 内的一组基。

推论 3.2

设 $V$ 和 $W$ 为 $F$ 上的向量空间，则 $V ≅ W$ 当且仅当 $dim (V) = dim (W)$ 。

在例例 3.2中，我们看到任意 $n$ 维向量空间都同构于 $F^{n}$ 。现在假设 $B$ 是一个基数为 $κ$ 的集合，设 $(F^{B})_{0}$ 为所有从 $B$ 到 $F$ 且具有有限支撑的函数构成的向量空间。容易证明，对于任意 $b \in B$ ，函数

δ_{b} (x) = {1, 0, if x = b, if x \neq = b

(3.2.1)

构成 $(F^{B})_{0}$ 的一组基，称为标准基（standard basis）。此时任意函数 $f \in (F^{B})_{0}$ 可表示为 $\sum_{b \in B} f (b) δ_{b}$ ，故 $dim ((F^{B})_{0}) = ∣ B ∣ = κ$ 。当然，对于任意基数 $κ$ ，存在维度为 $κ$ 的向量空间与 $(F^{B})_{0}$ 同构。

定理 3.2

若 $n$ 为自然数，则 $F$ 上任意 $n$ 维向量空间同构于 $F^{n}$ 。若 $κ$ 为任意基数，且 $B$ 是基数为 $κ$ 的集合，那么 $F$ 上任意 $κ$ 维向量空间同构于所有从 $B$ 到 $F$ 的具有有限支撑的函数构成的向量空间 $(F^{B})_{0}$ 。

有了上述结果，我们可以证明关于秩和零化度之间的一个重要关系，称为秩-零化度定理。

定理 3.3 （秩-零化度定理）

设 $τ \in L (V, W)$ 。

$ker (τ)$ 的任意补空间同构于 $im (τ)$ ；
秩-零化度定理： $dim (ker (τ)) + dim (im (τ)) = dim (V)$ ，或者 $rk (τ) + null (τ) = dim (V)$ 。

证明

设 $τ \in L (V, W)$ ，根据定理 2.4，任何子空间都具有补空间。不妨记 $V = ker (τ) \oplus ker (τ)^{c}$ ，其中 $ker (τ)^{c}$ 为 $V$ 中 $ker (τ)$ 的补空间。对于 $τ$ 的 $ker (τ)^{c}$ 上的限制 $τ^{c} : ker (τ)^{c} \to W$ ，

ker (τ^{c}) = {v \in ker (τ)^{c} ∣ τ (v) = 0} = ker (τ)^{c} \cap ker (τ) = {0} .

(3.2.2)

根据命题 3.2， $τ^{c}$ 为单射。对于任意向量 $v \in V$ ，存在 $u \in ker (τ)$ 和 $w \in ker (τ)^{c}$ ，使得

τ (v) = τ (u + w) = τ (u) + τ (w) = τ^{c} (w) ⟹ im (τ) \subseteq im (τ^{c}) .

(3.2.3)

根据定义， $im (τ^{c}) \subseteq im (τ)$ 是显然的，从而 $im (τ^{c}) = im (τ)$ 。由此可见从 $ker (τ)^{c}$ 到 $im (τ^{c})$ 的映射 $τ^{c}$ 既是单射又是满射，故 $ker (τ)^{c} ≅ im (τ^{c}) = im (τ)$ 。那么根据定理 2.7， $dim (V) = dim (ker (τ)) + dim (ker (τ)^{c}) = dim (ker (τ)) + dim (im (τ))$ 。

上述定理有一条重要的推论。

推论 3.3

设 $τ \in L (V, W)$ ，其中 $dim (V) = dim (W) < \infty$ ，则 $τ$ 为单射当且仅当其为满射。

证明

根据命题 3.2， $τ$ 为单射当且仅当其为零空间，当且仅当 $dim (ker (τ)) = 0$ 。再根据定理 3.3， $τ$ 为单射当且仅当 $dim (im (τ)) = dim (V) = dim (W)$ 。利用定理 3.2， $τ$ 为单射当且仅当 $im (τ)$ 与 $W$ 同构，即 $τ$ 为满射。

3.3矩阵变换与基变换

3.1 从 $F^{n}$ 到 $F^{m}$ 的线性变换

在例例 3.1中，对于域 $F$ 上任意 $m \times n$ 矩阵 $A$ ，乘法映射 $τ_{A} (v) = A v$ 是一个线性变换。事实上，任意线性变换 $τ \in L (F_{n}, F^{m})$ 都具有此形式。设矩阵 $A$ 第 $i$ 列为 $τ (e_{i})$ ，即 $A = (τ (e_{1}) ∣ \dots ∣ τ (e_{n}))$ ，其中 $e_{i}$ 为第 $i$ 个标准基，则

A e_{i} = (τ (e_{1}) ∣ \dots ∣ τ (e_{n}))^{(i)} = τ (e_{i}),

(3.3.1)

其中 $A^{(i)}$ 表示 $A$ 的第 $i$ 列，因此 $τ = τ_{A}$ 。

命题 3.4

设 $A$ 为 $F$ 上的一个 $m \times n$ 矩阵，则 $τ_{A} \in L (F^{n}, F^{m})$ ；
若 $τ \in L (F^{n}, F^{m})$ ，则 $τ = τ_{A}$ ，其中 $A = (τ (e_{1}) ∣ \dots ∣ τ (e_{n}))$ 称为 $τ$ 的矩阵。

若 $A \in M_{m, n} (F)$ ，则 $τ_{A}$ 的像为 $A$ 的列向量的线性组合，即 $A$ 的列空间，因此秩-零化度定理 3.3给出

dim (ker (τ_{A})) + rk (A) = dim (F^{n}) = n .

(3.3.2)

由此对于矩阵 $A$ ，可得到类似命题 3.2的结论。

命题 3.5

设 $A$ 为 $F$ 上的 $m \times n$ 矩阵。

$τ_{A} : F^{n} \to F^{m}$ 为单射当且仅当 $rk (A) = n$ ；
$τ_{A} : F^{n} \to F^{m}$ 为满射当且仅当 $rk (A) = m$ 。

证明

根据命题 3.2和(3.3.2)式， $τ_{A}$ 为单射当且仅当 $ker (τ_{A}) = {0}$ ，当且仅当 $rk (A) = n$ ；
根据命题 3.2， $τ_{A}$ 为满射当且仅当 $im (τ_{A}) = F^{m}$ ，当且仅当 $rk (A) = dim (im (τ_{A})) = m$ （定理 3.2）。

3.2 基变换矩阵

设 $B = (b_{1}, \dots, b_{n})$ 和 $C = (c_{1}, \dots, c_{n})$ 为向量空间 $V$ 的有序基，一个自然的疑问是，坐标矩阵 $[v]_{B}$ 和 $[v]_{C}$ 如何关联起来。将 $[v]_{B}$ 化为 $[v]_{C}$ 的映射 $ϕ_{B, C}$ 满足

[v]_{C} = ϕ_{C} (v) = ϕ_{C} \cdot ϕ_{B}^{- 1} ([v]_{B}) = (ϕ_{C} ϕ_{B}^{- 1}) [v]_{B},

(3.3.3)

即 $ϕ_{B, C} = ϕ_{C} ϕ_{B}^{- 1}$ ，称其为基/坐标变换算子（change of basis/coordinates operator）。利用上一小节的讨论， $ϕ_{C, B}$ 为 $F^{n}$ 上的线性算子，因此其矩阵表示为

A = (ϕ_{B, C} (e_{1}) ∣ \dots ∣ ϕ_{B, C} (e_{n})) = (ϕ_{C} ϕ_{B}^{- 1} (e_{1}) ∣ \dots ∣ ϕ_{C} ϕ_{B}^{- 1} (e_{n})) = ([b_{1}]_{C} ∣ \dots ∣ [b_{n}]_{C}) .

(3.3.4)

以后将此处 $A$ 记为 $M_{B, C}$ ，并称其为从 $B$ 到 $C$ 的基变换矩阵。

定理 3.4

设 $B = (b_{1}, \dots, b_{n})$ 和 $C$ 为向量空间 $V$ 的两组有序基，则基变换算子 $ϕ_{B, C} = ϕ_{C} ϕ_{B}^{- 1}$ 为 $F^{n}$ 上的自同构，其标准矩阵为

M_{B, C} = ([b_{1}]_{C}, \dots, [b_{n}]_{C}),

(3.3.5)

进而 $[v]_{C} = M_{B, C} [v]_{B}$ ，并且 $M_{C, B} = M_{B, C}^{- 1}$ 。

证明

已知坐标映射 $ϕ_{B}$ 和 $ϕ_{C}$ 均为同构，容易验证 $ϕ_{B, C}$ 为自同构。另外，

M_{B, C}^{- 1} = (ϕ_{B, C}^{- 1} (e_{1}), \dots, ϕ_{B, C}^{- 1} (e_{n})) = (ϕ_{C, B} (e_{1}), \dots, ϕ_{C, B} (e_{n})) = M_{C, B} .

(3.3.6)

推论 3.4

若给定以下任意两者：

可逆 $n \times n$ 矩阵 $A$ ；
$F^{n}$ 的有序基 $B$ ；
$F^{n}$ 的有序基 $C$ ；

则第三者可由方程 $A = M_{B, C}$ 唯一确定。

3.3 线性变换的矩阵

设 $τ : V \to W$ 为线性变换，其中 $dim (V) = n$ 且 $dim (W) = m$ 。设 $B = (b_{1}, \dots, b_{n})$ 和 $C$ 分别为 $V$ 和 $W$ 的有序基，则映射 $θ : [v]_{B} \to [τ (v)]_{C}$ 为线性变换 $τ : F^{n} \to F^{m}$ 的表示（representation）。当然，这一表示取决于有序基 $B$ 和 $C$ 的选择。由于 $θ$ 从 $F^{n}$ 和 $F^{m}$ 的线性变换，它无非是一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$ 的乘法作用，即 $[τ (v)]_{C} = A [v]_{B}$ 。事实上，考虑到 $[b_{i}]_{B} = e_{i}$ ，类似(3.3.1)式可如下得到 $A$ 的列：

A^{(i)} = A e_{i} = A [b_{i}]_{B} = [τ (b_{i})]_{C} .

(3.3.7)

定理 3.5

设 $τ \in L (V, W)$ ， $B = (b_{1}, \dots, b_{n})$ 和 $C$ 分别为 $V$ 和 $W$ 的有序基，则 $τ$ 可关于 $B$ 和 $C$ 表示为矩阵乘法，即 $[τ (v)]_{C} = [τ]_{B, C} [v]_{B}$ ，其中

[τ]_{B, C} = ([τ (b_{1})]_{C}, \dots, [τ (b_{n})]_{C})

(3.3.8)

称为 $τ$ 关于基 $B$ 和 $C$ 的矩阵。当 $V = W$ 且 $B = C$ 时，我们将 $[τ]_{B, B}$ 简记为 $[τ]_{B}$ ，从而 $[τ (v)]_{B} = [τ]_{B} [v]_{B}$ 。

以下结果说明，采用线性变换或与其表示矩阵（给定有序基 $B$ 和 $C$ ）进行操作是同样方便的。这不仅适用于加法和标量乘法，也适用于矩阵乘法。

定理 3.6

设 $V$ 和 $W$ 为域 $F$ 上的向量空间，其分别包含有序基 $B = (b_{1}, \dots, b_{n})$ 和 $C = (c_{1}, \dots, c_{m})$ 。

映射 $μ : L (V, W) \to M_{m, n} (F)$ 定义为 $μ (τ) = [τ]_{B, C}$ ，则该映射是同构，因此 $L (V, W) ≅ M_{m, n} (F)$ ；
若 $σ \in L (U, V)$ 且 $τ \in L (V, W)$ ， $B, C, D$ 分别为 $U, V, W$ 的有序基，则

$[τ σ]_{B, D} = [τ]_{C, D} [σ]_{B, C},$
(3.3.9)

因此乘积（复合） $τ σ$ 的矩阵为 $τ$ 和 $σ$ 各自矩阵的乘积。事实上，这正是矩阵乘法定义的主要动机。

证明

首先证明该映射是线性的，即对于任意 $τ, σ \in L (V, W)$ 和 $r, s \in F$ ，根据定理 3.5以及坐标映射线性的事实，

$μ (r τ + s σ) e_{i} = [r τ + s σ]_{B, C} [b_{i}]_{B} = [(r τ + s σ) (b_{i})]_{C} = [r τ (b_{i}) + s σ (b_{i})]_{C} = r [τ (b_{i})]_{C} + s [σ (b_{i})]_{C} = (r [τ]_{B, C} + s [σ]_{B, C}) e_{i} .$
(3.3.10)

利用定理 3.1， $μ$ 是线性变换。根据定理 3.2，可由 $[τ]_{B, C}$ 和有序基 $C$ 确定 $τ (b_{i})$ ，进而确定 $τ$ 。因此 $μ$ 为满射；根据推论 3.3，此时 $μ$ 为双射，进而为同构；
根据上述结果，

$[τ σ]_{B, D} [b_{i}]_{B} = [(τ σ) (b_{i})]_{D} = [τ]_{C, D} [σ (b_{i})]_{C} = [τ]_{C, D} [σ]_{B, C} [b_{i}]_{B}$
(3.3.11)

对任意 $b_{i} \in B$ 成立。根据定理 3.1， $[τ σ]_{B, D} = [τ]_{B, C} [σ]_{D}$ 。

3.4 线性变换的基变换

定理 3.7

设 $τ \in L (V, W)$ ， $(B, C)$ 和 $(B^{'}, C^{'})$ 分别为 $V$ 和 $W$ 的两对有序基，则

[τ]_{B^{'}, C^{'}} = M_{C, C^{'}} [τ]_{B, C} M_{B^{'}, B} .

(3.3.12)

证明

根据定理 3.4和定理 3.5，对于任意 $b_{i}^{'} \in B^{'}$ ，

[τ]_{B^{'}, C^{'}} [b_{i}^{'}]_{B^{'}} = [τ (b_{i}^{'})]_{C^{'}} = M_{C, C^{'}} [τ (b_{i}^{'})]_{C} = M_{C, C^{'}} [τ]_{B, C} [b_{i}^{'}]_{B} = M_{C, C^{'}} [τ]_{B, C} M_{B^{'}, B} [b_{i}^{'}]_{B^{'}},

(3.3.13)

因此有 $[τ]_{B^{'}, C^{'}} = M_{C, C^{'}} [τ]_{B, C} M_{B^{'}, B}$ ，结论得证。

对于 $V = W$ 以及 $B^{'} = C, C^{'} = B$ 的特殊情形，我们可直接得到以下推论。

推论 3.5

设 $τ \in L (V)$ ， $B$ 和 $C$ 为 $V$ 的两组有序基，则 $[τ]_{C} = M_{B, C} [τ]_{B} M_{B, C}^{- 1}$ 。

3.4等价性与相似性

4.5 矩阵的等价

由于基变换矩阵实际上为可逆矩阵，定理 3.7的内容正是引出“矩阵等价”这一概念的动机。

定义 3.5 （矩阵等价）

若存在可逆矩阵 $P$ 和 $Q$ ，使得矩阵 $A$ 和 $B$ 之间满足 $B = P A Q^{- 1}$ ，则称 $A$ 和 $B$ 等价（equivalent）。

定理 3.8

设 $V$ 和 $W$ 分别为维度为 $n$ 和 $m$ 的向量空间，则两个 $m \times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$ 等价当且仅当其（可能在不同有序基下）表示同一个线性变换 $τ \in L (V, W)$ 。在这种情况下， $A$ 和 $B$ 表示 $L (V, W)$ 中相同的线性变换集。

证明

若 $A$ 和 $B$ 均表示 $τ$ ，存在有序基对 $(B, C)$ 和 $(B^{'}, C^{'})$ 使得 $A = [τ]_{B, C}$ 且 $B = [τ]_{B^{'}, C^{'}}$ 。根据定理 3.7，存在 $P = M_{C, C^{'}}$ 和 $Q = M_{B, B^{'}}$ 使得 $B = P A Q^{- 1}$ ，从而 $A$ 和 $B$ 等价；反之若 $A$ 和 $B$ 等价，存在可逆矩阵 $P$ 和 $Q$ 使得 $B = P A Q^{- 1}$ 。根据定理 3.5，可通过 $A$ 和 $W$ 的一组任意给定的有序基 $C$ 确定 $V$ 的一组有序基 $B$ ，使得 $A = [τ]_{B, C}$ ，其中 $τ$ 为从 $V$ 到 $W$ 的某个线性变换。类似地，根据定理 3.4，可通过 $P$ 和 $Q$ 以及给定的有序基 $B$ 和 $C$ 确定相应的有序基 $B^{'}$ 和 $C^{'}$ ，使得 $P = M_{C, C^{'}}$ 且 $Q = M_{B, B^{'}}$ 。那么利用定理 3.7， $B = P A Q^{- 1} = [τ]_{B^{'}, C^{'}}$ 。

4.6 矩阵的相似

定义 3.6 （矩阵相似）

若存在可逆矩阵 $P$ ，使得矩阵 $A$ 和 $B$ 满足 $B = P A P^{- 1}$ ，则称 $A$ 和 $B$ 相似（similar）。与矩阵相似有关的等价类称为相似类（similar class）。

作为定理 3.8和推论 3.5的推论，我们有如下结果。

推论 3.6

设 $V$ 为 $n$ 维向量空间，那么两个 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$ 相似当且仅当其（可能在不同的有序基下）表示同一个线性算子 $τ \in L (V)$ 。在这种情况下， $A$ 和 $B$ 表示 $L (V)$ 中相同的线性算子集。

4.7 算子的相似

定义 3.7

若存在自同构 $ϕ \in L (V)$ 使得线性算子 $τ, σ \in L (V)$ 满足 $σ = ϕ τ ϕ^{- 1}$ ，则称 $τ$ 和 $σ$ 相似。与算子相似相关的等价类称为相似类。

定理 3.9

设 $V$ 为 $n$ 维向量空间，那么 $V$ 上的两个线性算子相似当且仅当存在一个矩阵 $A \in M_{n}$ 可同时（可能在不同的有序基下）表示两个算子，在这种情况下， $τ$ 和 $σ$ 可用 $M_{n}$ 中相同的矩阵集表示。

证明

若存在 $V$ 的有序基 $B$ 和 $C$ 使得 $[τ]_{B} = A = [σ]_{C}$ ，那么可定义同构 $ϕ (b_{i}) = c_{i}$ ，从而根据定理 3.4，

[ϕ]_{B} = ([ϕ (b_{1})]_{B}, \dots, [ϕ (b_{n})]_{B}) = ([c_{1}]_{B}, \dots, [c_{n}]_{B}) = M_{C, B},

(3.4.1)

因此根据定理 3.6和推论 3.5，

[σ]_{B} = M_{C, B} [σ]_{C} M_{C, B}^{- 1} = [ϕ]_{B} [τ]_{B} [ϕ^{- 1}]_{B} = [ϕ τ ϕ^{- 1}]_{B} .

(3.4.2)

可见对于任意给定的有序基， $σ = ϕ τ ϕ^{- 1}$ ，即 $σ$ 和 $τ$ 等价；反之若 $τ$ 和 $σ$ 等价，存在自同构 $ϕ$ 使得 $σ = ϕ τ ϕ^{- 1}$ 。对于任意给定的有序基 $B$ ，可通过 $ϕ (b_{i}) = c_{i}$ 定义一组有序基 $C$ 。根据(3.4.1)式， $[ϕ]_{B} = M_{C, B}$ ，进而

[τ]_{B} = [ϕ^{- 1} σ ϕ]_{B} = [ϕ]_{B}^{- 1} [σ]_{B} [ϕ]_{B} = M_{B, C} [σ]_{B} M_{B, C}^{- 1} = [σ]_{C} .

(3.4.3)

3.5不变子空间与约化对

一般而言，线性算子 $τ \in L (V)$ 在 $V$ 的子空间 $S$ 上的限制未必是线性算子（封闭性），由此引出如下定义。

定义 3.8 （不变子空间）

设 $τ \in L (V)$ 。对于 $V$ 的一个子空间 $S$ ，若 $τ (S) \subseteq S$ ，则称 $S$ 在 $τ$ 下不变（invariant under $τ$ ）或者 $τ$ -不变（ $τ$ -invariant）；换言之，对于任意 $s \in S$ ，均有 $τ (s) \in S$ ，即限制 $τ ∣_{S}$ 是 $S$ 上的线性算子。

例 3.3

在 $R^{2}$ 中定义线性算子 $τ (x, y) = (x + y, y)$ ，那么子空间 $S = {(x, 0) ∣ x \in R}$ 是 $τ$ -不变的，但子空间 $T = {(0, y) ∣ y \in R}$ 不是。这说明一般而言，即便 $V$ 的子空间 $S$ 是 $τ$ -不变的，其补空间 $T$ 也未必是 $τ$ -不变的。

定义 3.9 （约化）

设 $τ \in L (V)$ 。若 $V = S \oplus T$ 且 $S$ 和 $T$ 均为 $τ$ -不变的，称 $(S, T)$ 约化（reduce） $τ$ 。

约化对可用于将线性算子如下分解为直和形式。

定义 3.10 （算子直和）

设 $τ \in L (V)$ 。若 $(S, T)$ 约化 $τ$ ，记 $τ = τ ∣_{S} \oplus τ ∣_{T}$ ，并称 $τ$ 为 $τ ∣_{S}$ 与 $τ ∣_{T}$ 的直和。因此，表达式 $ρ = σ \oplus τ \in L (V)$ 意味着存在 $V$ 的子空间 $S$ 和 $T$ ，使得 $(S, T)$ 约化 $ρ$ ，并且 $σ = ρ ∣_{S}, τ = ρ ∣_{T}$ 。

3.6投影算子

6.8 定义与基本性质

定义 3.11 （投影）

设 $V = S \oplus T$ ，则线性算子 $ρ_{S, T} : V \to V$ 定义为 $ρ_{S, T} (s + t) = s$ ，其中 $s \in S, t \in T$ 。 $ρ_{S, T}$ 称为沿 $T$ 到 $S$ 上的投影（projection onto $S$ along $T$ ）。

以下是投影算子的基本性质。

命题 3.6

设 $V$ 为向量空间， $ρ \in L (V)$ 。

若 $V = S \oplus T$ ，则 $ρ_{S, T} + ρ_{T, S} = ι$ ；
若 $ρ = ρ_{S, T}$ ，则 $im (ρ) = S$ 且 $ker (ρ) = T$ ，进而 $V = im (ρ) \oplus ker (ρ)$ 。此外 $v \in im (ρ) \Leftrightarrow ρ v = v$ ；
若 $σ \in L (V)$ 满足 $V = im (σ) \oplus ker (σ)$ 且 $σ ∣_{im (σ)} = ι$ ，则 $σ$ 为沿 $ker (σ)$ 到 $im (σ)$ 上的投影。

证明

对于 $V = S \oplus T$ 内任意向量 $v$ ，存在 $s \in S$ 和 $t \in T$ 使得 $v = s + t$ ，那么 $(ρ_{S, T} + ρ_{T, S}) (v) = s + t = v$ ，即 $ρ_{S, T} + ρ_{T, S} = ι$ ；
对于任意 $v \in V$ ，存在 $s \in S$ 和 $t \in T$ 使得 $v = s + t$ ，因此 $ρ (v) = s$ ，即 $im (ρ) \subseteq S$ ；另一方面，对于任意 $s \in S$ ，由于 $0 \in T$ ，因此存在 $v \in V$ ，使得 $s = s + 0 = v \in V$ ，那么 $s = ρ (s)$ ，即 $S \subseteq im (ρ)$ 。综上， $im (ρ) = S$ 。类似分析可知 $ker (ρ) = T$ ，因此 $V = S \oplus T = im (ρ) \oplus ker (ρ)$ 。那么 $v \in im (ρ) = S$ 当且仅当 $ρ v = v ρ (v + 0) = v$ ；
记 $S = im (σ), T = ker (σ)$ ，则对于任意 $s \in S$ 和 $t \in T$ ，首先有 $σ (t) = 0$ ，因此

$σ (s + t) = σ (s) + σ (t) = σ ∣_{S} (s) + 0 = s,$
(3.6.1)

因此 $σ$ 为沿 $T = ker (σ)$ 到 $S = im (σ)$ 的投影。

事实上，除去上述定义，投影算子存在一种更简单的等价描述。

定义 3.12 （幂等）

若线性算子 $τ \in L (V)$ 满足 $τ^{2} = τ$ ，则称其幂等（idempotent）。

定理 3.10

线性算子 $ρ \in L (V)$ 是投影当且仅当其幂等。

证明

若 $ρ = ρ_{S, T}$ ，其中 $S$ 和 $T$ 分别为 $V$ 的子空间，那么对于任意 $v \in V$ ，存在 $s \in S$ 和 $t \in T$ 使得 $v = s + t$ 。那么 $ρ^{2} v = ρ (ρ (s + t)) = ρ (s + 0) = s = ρ (v)$ ，即 $ρ^{2} = ρ$ ；反之若 $ρ^{2} = ρ$ ，对于任意 $v \in im (ρ)$ ，总存在 $x \in V$ 使得 $v = ρ x = ρ^{2} x = ρ v$ ，因此 $ρ ∣_{im (ρ)} = ι$ 。考虑 $u \in im (ρ) \cap ker (ρ)$ ，那么 $u = ρ u = 0$ ，即 $im (ρ) \cap ker (ρ) = {0}$ ；另外对于任意 $v \in V$ ，总有 $v = ρ v + (v - ρ v) \in im (ρ) + ker (ρ)$ ，因此 $V = im (ρ) \oplus ker (ρ)$ 。根据命题 3.6， $ρ$ 是沿 $ker (ρ)$ 到 $im (ρ)$ 上的投影。

6.9 正交投影与单位算子分解

定义 3.13 （正交投影）

对于投影 $ρ, σ \in L (V)$ ，若 $ρ σ = σ ρ = 0$ ，则称两者正交（orthogonal），记作 $ρ ⊥ σ$ 。

命题 3.7

投影 $ρ, σ \in L (V)$ 正交当且仅当 $im (ρ) \subseteq ker (σ)$ 且 $im (σ) \subseteq ker (ρ)$ 。

证明

若 $ρ$ 与 $σ$ 正交，则对于任意 $v \in im (ρ)$ ，根据命题 3.6， $σ v = σ (ρ v) = 0$ ，因此 $im (σ) \subseteq ker (σ)$ 。类似地 $im (σ) \subseteq ker (ρ)$ ，必要性得证；反之若必要性成立，对于任意 $v \in V$ ， $ρ v \in im (ρ)$ ，因此 $σ ρ v = 0$ ，类似地 $ρ σ v = 0$ ，故 $ρ σ = σ ρ = 0$ 。

下面的例子将说明，仅有 $ρ σ = 0$ 的条件是不充分的，甚至可能在此情况下 $σ ρ$ 不是投影。

例 3.4

设 $V = F^{2}$ ，考虑 $x$ 轴和 $y$ 轴以及对角线

X = {(x, 0) ∣ x \in F}, Y = {(0, y) ∣ y \in F}, D = {(x, x) ∣ x \in F},

(3.6.2)

那么对于任意 $(x, y) \in F^{2}$ ，容易验证

ρ_{D, X} ρ_{D, Y} (x, y) = ρ_{D, X} ρ_{D, Y} ((x, x) + (0, y - x)) = ρ_{D, X} (x, x) = (x, x),

(3.6.3)

ρ_{D, Y} ρ_{D, X} (x, y) = ρ_{D, Y} ρ_{D, X} ((y, y) + (x - y, 0)) = ρ_{D, Y} (y, y) = (y, y) .

(3.6.4)

可见若 $ρ, σ$ 为投影，其乘积 $ρ σ$ 和 $σ ρ$ 可能仍为投影，但两者不相等。此外，

ρ_{Y, X} ρ_{X, D} (x, y) = ρ_{Y, X} ρ_{X, D} ((x - y, 0) + (y, y)) = ρ_{Y, X} (x - y, 0) = 0,

(3.6.5)

ρ_{X, D} ρ_{Y, X} (x, y) = ρ_{X, D} (0, y) = ρ_{X, D} ((- y, 0) + (y, y)) = (- y, 0),

(3.6.6)

可见 $ρ_{Y, X} ρ_{X, D} = 0$ ，但 $(ρ_{X, D} ρ_{Y, X})^{2} (x, y) = ρ_{X, D} ρ_{Y, X} (- y, 0) = (0, 0) \neq = ρ_{X, D} ρ_{Y, X} (x, y)$ ，即 $ρ_{X, D} ρ_{Y, X}$ 非投影。

由于投影 $ρ$ 幂等，可将单位算子 $ι$ 写为两个正交投影的和： $ι = ρ + (ι - ρ)$ ，并将此概念推广至更多投影。

定义 3.14 （单位算子的分解）

$V$ 上单位算子的分解（resolution of the identity）为求和形式

ρ_{1} + \dots + ρ_{k} = ι,

(3.6.7)

其中 $ρ_{i}$ 为两两（pairwise）正交的投影，即当 $i \neq = j$ 时 $ρ_{i} ⊥ ρ_{j}$ 。

$V$ 上单位算子的分解与 $V$ 的直和分解存在如下关系。

定理 3.11

设 $V$ 为向量空间， $V$ 上单位算子的分解与 $V$ 的直和分解（direct sum decompositions）存在如下对应关系：

若 $ρ_{1} + \dots + ρ_{k} = ι$ 为单位算子的一种分解，则 $V = im (ρ_{1}) \oplus \dots \oplus im (ρ_{k})$ ，其中 $ρ_{i}$ 是沿 $ker (ρ_{i}) = \oplus_{j \neq = i} im (ρ_{j})$ 到 $im (ρ_{i})$ 上的投影；
若 $V = S_{1} \oplus \dots \oplus S_{k}$ 且 $ρ_{i}$ 为沿直和 $\oplus_{j \neq = i} S_{j}$ 到 $S_{i}$ 上的投影，则 $ρ_{1} + \dots + ρ_{k} = ι$ 是单位算子的分解。

证明

对于任意 $v \in V$ ，由条件知 $v = (ρ_{1} + \dots + ρ_{k}) v \in im (ρ_{1}) + \dots + im (ρ_{k})$ ，因此 $V = im (ρ_{1}) + \dots + im (ρ_{k})$ 。对于任意 $i \neq = j$ ，考虑 $u \in im (ρ_{i}) \cap im (ρ_{j})$ ，那么根据定义， $u = ρ_{j} u = ρ_{i} ρ_{j} u = 0$ ，即 $im (ρ_{i}) \cap im (ρ_{j}) = {0}$ ，因此 $V = im (ρ_{1}) \oplus \dots \oplus im (ρ_{k})$ ，并且 $ker (ρ_{i}) = \oplus_{j \neq = i} im (ρ_{j})$ ；
根据命题 3.6，对于任意指标 $i \neq = j$ ， $im (ρ_{i}) = S_{i} \subseteq \oplus_{k \neq = j} S_{k} = ker (ρ_{j})$ ，类似地 $im (ρ_{j}) \subseteq ker (ρ_{i})$ 。根据命题 3.7， $ρ_{i}$ 两两正交。最后对于任意 $v \in V$ ，存在 $s_{i} \in S_{i}$ 使得 $v = s_{1} + \dots + s_{k}$ ，进而

$ρ_{i} v = ρ_{i} s_{i} + j \neq = i \sum s_{j} = s_{i} ⟹ (ρ_{1} + \dots + ρ_{k}) v = s_{1} + \dots + s_{k} = v,$
(3.6.8)

因此 $ρ_{1} + \dots + ρ_{k} = ι$ 。

6.10 投影代数

命题 3.8

设 $V$ 为特征⁴不为2的域 $F$ 上的向量空间， $ρ, σ$ 为投影。

和 $ρ + σ$ 是投影当且仅当 $ρ ⊥ σ$ ，在这种情况下

$im (ρ + σ) = im (ρ) \oplus im (σ), ker (ρ + σ) = ker (ρ) \cap ker (σ) .$
(3.6.9)
差 $ρ - σ$ 是投影当且仅当 $ρ σ = σ ρ = σ$ ，在这种情况下

$im (ρ - σ) = im (ρ) \cap ker (σ), ker (ρ - σ) = ker (ρ) \oplus im (σ) .$
(3.6.10)
若 $ρ$ 和 $σ$ 可交换，则 $ρ σ$ 是投影，在这种情况下

$im (ρ σ) = im (ρ) \cap im (σ), ker (ρ σ) = ker (ρ) + ker (σ) .$
(3.6.11)

证明

$ρ + σ$ 是投影当且仅当 $ρ + σ = (ρ + σ)^{2} = ρ + σ + ρ σ + σ ρ$ ，等价于 $ρ σ = - σ ρ$ 。若 $ρ ⊥ σ$ ，该条件显然成立；反之可将其改写为 $ρ σ = ρ^{2} σ = ρ (- σ ρ) = (σ ρ) ρ = σ ρ$ 。结合 $ρ σ = - σ ρ$ 可知， $ρ σ = σ ρ = 0$ 。现在对于任意 $v \in im (ρ + σ)$ ，根据定理 3.10， $v = (ρ + σ) v \in im (ρ) + im (σ)$ 。并且类似定理 3.11的证明， $ρ ⊥ σ$ 时 $im (ρ) \cap im (σ) = {0}$ ，因此 $im (ρ + σ) \subseteq im (σ) \oplus im (σ)$ 。另一方面，对于任意 $u \in im (ρ) \oplus im (σ)$ ，总存在 $s \in im (ρ)$ 和 $t \in im (σ)$ 使得 $u = s + t$ 。那么 $ρ u = s$ 且 $ρ u = t$ ，进而 $(ρ + σ) u = s + t = u$ ，可见 $im (ρ) \oplus im (σ) \subseteq im (ρ + σ)$ 。综上， $im (ρ + σ) = im (ρ) \oplus im (σ)$ 。对于后一结论， $ker (ρ) \cap ker (σ) \subseteq ker (ρ + σ)$ 是显然的。对于任意 $v \in ker (ρ + σ)$ ，有 $ρ v = - σ v$ ，因此 $ρ v = ρ^{2} v = - ρ σ v = 0$ ，类似地 $σ v = 0$ ，即 $v \in ker (ρ) \cap ker (σ)$ ，充分性得证；
$ρ - σ$ 是投影当且仅当 $ρ - σ = (ρ - σ)^{2} = ρ + σ - ρ σ - σ ρ$ ，即 $(ι - ρ) σ = - σ (ι - ρ)$ 。根据上一结论，这等价于 $σ ⊥ (ι - ρ)$ ，因此 $σ (ι - ρ) = (ι - ρ) σ = 0$ ，即 $σ = ρ σ = σ ρ$ 。在此条件下，显然有 $im (ρ) \cap ker (σ) \subseteq im (ρ - σ)$ ；对于任意 $v \in im (ρ - σ)$ ，要求 $v = (ρ - σ) v$ ，即 $σ v = σ (ρ - σ) v = 0$ ，回代得 $v = ρ v$ 。因此 $v \in im (ρ) \cap ker (σ)$ ，即 $im (ρ - σ) \subseteq im (ρ) \cap ker (σ)$ 。对于后一结论，首先考虑 $u \in ker (ρ) \cap im (σ)$ ，有 $u = σ u$ 且 $ρ u = 0$ ，因此 $0 = ρ u = ρ σ u = σ u$ ，回代得 $u = 0$ ，即 $ker (ρ) \cap im (σ) = {0}$ 。对于任意 $v \in ker (ρ) \oplus im (σ)$ ，存在 $s \in ker (ρ)$ 和 $t \in im (σ)$ 使得 $v = s + t$ 。已知 $ρ s = 0$ 且 $σ t = t$ ，那么 $0 = σ ρ s = σ s$ ， $ρt = ρ σ t = σ t = t$ 。因此 $ρ v = ρ (s + t) = s + t = v$ 且 $σ v = σ (s + t) = 0$ ，进而 $(ρ - σ) v = v$ ，即 $ker (ρ) \oplus im (σ) \subseteq ker (ρ - σ)$ ；另一方面，对于任意 $v \in ker (ρ - σ)$ ，已知 $ρ v = σ v$ ，那么 $v = (v - ρ v) + ρ v = (v - ρ v) + σ v \in ker (ρ) + im (σ)$ ，因此 $ker (ρ - σ) \subseteq ker (ρ) \oplus im (σ)$ ，充分性得证；
根据条件， $(ρ σ)^{2} = ρ (ρ σ) σ = ρ σ$ ，因此 $ρ σ$ 是投影。显然有 $im (ρ) \cap im (σ) \subseteq im (ρ σ)$ ；对于任意 $v \in im (ρ σ)$ ，有 $v = ρ (σ v) = σ (ρ v) \in im (ρ) \cap im (σ)$ ，故 $im (ρ σ) \subseteq im (ρ) \cap im (σ)$ 。对于后一结论，显然有 $ker (ρ) + ker (σ) \subseteq ker (ρ σ)$ ；反之对于任意 $v \in ker (ρ σ)$ ，已知 $ρ σ v = 0$ ，那么 $v = σ v + (v - σ v) \in ker (ρ) + ker (σ)$ ，即 $ker (ρ σ) \subseteq ker (ρ) + ker (σ)$ ，结论得证

这一部分仅讨论代数结构自身的性质，暂且不考虑其拓扑性质。在第第 14 章章中，我们会将此处的 $L (V, W)$ 记为 $Hom (V, W)$ ，而将其中连续线性变换构成的集合记为 $L (V, W)$ 。
代数 $A$ 上定义了加法、乘法和标量乘法三种运算，要求其在加法和标量乘法下构成向量空间，在加法和乘法下构成环，并且要求对于任意 $r \in F$ 和 $a, b \in A$ ， $r (ab) = (r a) b = a (r b)$ 。
我们尚未证明行秩（行空间的维数）等于列秩（列空间的维数），不过这点容易由初等行变换不改变秩（向量集的线性组合不改变其中线性无关集的基数）这一事实证明，具体可参见^[1]。
简言之，特征是使得乘法单位元1加和为加法单位元0的加项数，例如比特在按位加法和按位乘法下形成特征为2的域（ $1 + 1 = 0$ ）